Théorème de Rolle - Énoncé et démonstration
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Énoncer et démontrer le théorème de Rolle.
Correction
Démonstration:
La démonstration peut être vue comme une conséquence de la propriété des fonctions continues: si est continue sur , alors est bornée et atteint ses bornes. Par exemple en atteint un maximum ou un minimum et donc est un point critique c'est-à-dire .
Le seul point qui reste à vérifie est que , c'est-à-dire que et . Ceci est en effet le cas lorsque n'est pas constante.
Plus précisément, si est constante sur , alors pour tout , on a , et le théorème est clairement vérifié.
Sinon, comme est continue sur , y est bornée, et on pose et . Comme n'est pas constante, on a , et soit soit .
Dans le premier cas par exemple, il existe donc tel que et en ce point critique .
Le raisonnement est analogue dans le deuxième cas.
Correction
Théorème: Soit une fonction continue sur et dérivable sur , et telle que , alors il existe tel que .Démonstration:
La démonstration peut être vue comme une conséquence de la propriété des fonctions continues: si est continue sur , alors est bornée et atteint ses bornes. Par exemple en atteint un maximum ou un minimum et donc est un point critique c'est-à-dire .
Le seul point qui reste à vérifie est que , c'est-à-dire que et . Ceci est en effet le cas lorsque n'est pas constante.
Plus précisément, si est constante sur , alors pour tout , on a , et le théorème est clairement vérifié.
Sinon, comme est continue sur , y est bornée, et on pose et . Comme n'est pas constante, on a , et soit soit .
Dans le premier cas par exemple, il existe donc tel que et en ce point critique .
Le raisonnement est analogue dans le deuxième cas.
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