Théorème de Rolle - Énoncé et démonstration
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Énoncer et démontrer le théorème de Rolle.
Correction
une fonction continue sur
et dérivable sur
, et telle que
,
alors il existe
tel que
.
![\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{pspicture}(-1,-.6)(6,4)
\psline{->}(-1,0)(6,0)
\psline{->}(0,-.6)(0,4)
\pscurve[linewidth=1.3pt](.5,1.5)(.8,1.6)(2,3.5)(3,1)(4,1)(5,1.5)
\psline{<->}(1,3.51)(3,3.51)
\psline{<->}(2.3,.88)(4.7,.88)
\psline[linestyle=dashed](.5,0)(.5,1.5)(0,1.5)(5,1.5)(5,0)
\rput[r](-.2,1.5){$f(a)=f(b)$}
\rput(.5,-.3){$a$}
\rput(5,-.3){$b$}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/7.png)
Démonstration:
La démonstration peut être vue comme une conséquence de la propriété des fonctions continues: si
est continue sur
, alors
est bornée et atteint ses bornes.
Par exemple en
atteint un maximum ou un minimum et donc
est un point critique c'est-à-dire
.
Le seul point qui reste à vérifie est que
,
c'est-à-dire que
et
.
Ceci est en effet le cas lorsque
n'est pas constante.
Plus précisément, si
est constante sur
,
alors pour tout
,
on a
, et le théorème est clairement vérifié.
Sinon, comme
est continue sur
,
y est bornée,
et on pose
et
.
Comme
n'est pas constante, on a
, et soit
soit
.
Dans le premier cas par exemple, il existe donc
tel que
et en ce point critique
.
Le raisonnement est analogue dans le deuxième cas.
Correction
Théorème: Soit![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/1.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/2.png)
![$]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/3.png)
![$f(a)=f(b)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/4.png)
![$c\in]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/5.png)
![$f'(c)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/6.png)
![\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{pspicture}(-1,-.6)(6,4)
\psline{->}(-1,0)(6,0)
\psline{->}(0,-.6)(0,4)
\pscurve[linewidth=1.3pt](.5,1.5)(.8,1.6)(2,3.5)(3,1)(4,1)(5,1.5)
\psline{<->}(1,3.51)(3,3.51)
\psline{<->}(2.3,.88)(4.7,.88)
\psline[linestyle=dashed](.5,0)(.5,1.5)(0,1.5)(5,1.5)(5,0)
\rput[r](-.2,1.5){$f(a)=f(b)$}
\rput(.5,-.3){$a$}
\rput(5,-.3){$b$}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/7.png)
Démonstration:
La démonstration peut être vue comme une conséquence de la propriété des fonctions continues: si
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/8.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/9.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/10.png)
![$c$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/11.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/12.png)
![$c$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/13.png)
![$f'(c)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/14.png)
Le seul point qui reste à vérifie est que
![$c\in]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/15.png)
![$c\not=a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/16.png)
![$c\not=b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/17.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/18.png)
Plus précisément, si
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/19.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/20.png)
![$x\in[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/21.png)
![$f'(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/22.png)
Sinon, comme
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/23.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/24.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/25.png)
![$m=\dsp\inf_{x\in[a;b]} f(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/26.png)
![$M=\dsp\sup_{x\in[a;b]}f(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/27.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/28.png)
![$m<M$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/29.png)
![$m<f(a)=f(b)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/30.png)
![$f(a)=f(b)<M$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/31.png)
Dans le premier cas par exemple, il existe donc
![$c\in]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/32.png)
![$f(c)=m$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/33.png)
![$f'(c)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exR0_c/34.png)
Le raisonnement est analogue dans le deuxième cas.
Tags:DérivéeRolle - AF
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