Tangentes parallèles ou concourantes


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

Pour $\lambda\in\R$, on considère les fonctions $f_\lambda:x\mapsto\dfrac{x+\lambda}{x^2+1}$.
  1. Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions $f_\lambda$ sont parallèles.
  2. Montrer que les tangentes en 1 sont concourantes.



Correction

Correction

On a, $f_\lambda'(x)=\dfrac{x^2+1-(x+\lambda)2x}{\left( x^2+1\rp^2} =\dfrac{-x^2-2\lambda x+1}{\left( x^2+1\rp^2}$
  1. Pour tout réel $\lambda$, le coefficient directeur de la tangente en 0 à la courbe de $f_\lambda$ a pour coefficient directeur $f_\lambda'(0)=1$.
    Ces tangentes ont donc toutes le même coefficient directeur et sont donc parallèles.
  2. Les tangentes en 1 ont pour équation: $y=f_\lambda'(1)(x-1)+f_\lambda(1) =\dfrac{-2\lambda}{4}(x-1)+\dfrac{1+\lambda}{2} =-\dfrac{\lambda}{2}x+\dfrac12+\lambda$.
    En $x=2$, on a toujours, $y=\dfrac12$, indépendamment de $\lambda$, et donc toutes ces tangentes sont concourantes en $\lp2;\dfrac12\rp$.


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