Système d'équations aux dérivées partielles

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Déterminer toutes les fonctions $f:\R^2\to\R$ de classe

solutions des systèmes suivants :

$\left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial f}{\partial x}&=&e^xy\\[3mm] \dfrac{\partial f}{\partial y}&=&e^x+2y. \end{array}\right.$

Correction

La première relation nous donne

$f(x,y)=ye^x+g(y)$

où la fonction

est quelconque (mais dérivable et d'une seule variable, ainsi

est une constante pour la variable

). Cette expression nous donne alors, dans la seconde relation,

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^x+g'(y)=e^x+2y$

ce qui nous donne donc

$g'(y)=2y\iff g(y)=y^2+k$

où

est un nombre réel quelconque. Ainsi, on a trouvé que si uen fonction vérifie le système donné, alors

$f(x,y)=ye^x+y^2+k$

Réciproquement, on vérifie bien que ces fonctions conviennent, et donc qu'on a bien là toutes les solutions.

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