Sup et inf d'une loi de lois de Pareto


Soit un entier naturel $n\geq2$, et $n$ variables aléatoires indépendantes $X_1$ , $X_2$ , … , $X_n$ toutes de densité
\[f:\R\to\R, \, x\mapsto\la\begin{array}{cl}
0 &\text{si } x\leqslant1 \\
\dfrac1{x^2} &\text{sinon}\enar\right.\]


  1. Vérifier que $f$ est une densité de probabailité d'une variable aléatoire.
  2. Étudier l'existence de $E(X_i)$ et $V(X_i)$.
  3. Soit $Y=\inf(X_i)$ et $Z=\sup(X_i)$.
    Déterminer une densité de $Y$ et de $Z$.
  4. Étudier l'existence, et calculer éventuellement la valeur, de $E(Y)$, de $V(Y)$, de $E(Z)$ et de $V(Z)$.

Correction
  1. $f$ est clairement positive, continue sauf en 1, et
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_1^{+\infty}\dfrac1{x^2}dx
  =\lb-\dfrac1x\rb_1^{+\infty}=1\]

    donc $f$ définit bien une densité de probabilité.

  2. \[\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_1^{+\infty}\dfrac1xdx\]

    diverge donc les variables aléatoires $X_i$ n'ont ni espérance ni variance.
  3. On passe par la fonction de répartition: pour $y\geq1$,
    \[\begin{array}{ll}F_Y(y)&=P(Y\leqslant y)\\
  &=1-P(Y\geqslant y)\\
  &=1-P\Bigl( (X_1\geqslant y)\cap (X_2\geqslant y)\cap\dots\cap(X_n\geqslant y)\Bigr)\enar\]

    et alors, par indépendance des variables, et en posant $F$ la fonction de répartition des variables $X_i$,
    \[\begin{array}{ll}F_Y(y)&=1-P(X_1\geqslant y)\,P(X_\geqslant y)\,\dots\,P(X_n\geqslant y)\\
  &=1-\Bigl(1-F(y)\Bigr)^n=1-\dfrac1{y^n}\enar\]

    On obtient alors la densité en dérivant
    \[f_Y(y)=\la\begin{array}{cl}0&\text{si }x\leqslant1\\
  \dfrac{n}{y^{n+1}}&\text{sinon}\enar\right.\]




    De même, par indépendance,
    \[\begin{array}{ll}P(Z\leq z)
  &=P\Bigl(X_1\leq z)\cap (X_2\leq z)\cap\dots\cap(X_n\leq z)\Bigr)\\
  &=P(X_1\leq z)\,P(X_2\leq z)\dots\,P(X_n\leq z)\\
  &=\left( F(z)\rp^n=\left(1-\dfrac1z\rp^n
  \enar\]

    et enfin, pour la fonction de répartition
    \[f_Z(z)=\la\begin{array}{cl}0&\text{si }x\leqslant1\\
  \dfrac{n}{z^2}\lp1-\dfrac1z\rp^{n-1}&\text{sinon}\enar\right.\]



  4. \[E(Y)=n\int_1^{+\infty}\dfrac1{y^n}dy=\dfrac{n}{n-1}\]

    et
    \[E\left( Y^2\rp=n\int_1^{+\infty}\dfrac1{y^{n-1}}dy=\dfrac{n}{n-2}\]

    et donc aussi
    \[\begin{array}{ll}V(Y)
  &=E\left( Y^2\rp-\left( E(Y)\rp^2\\
  &=\dfrac{n}{n-2}-\dfrac{n^2}{(n-1)^2}\\
  &=\dfrac{n}{(n-1)^2(n-2)}\enar\]




    Par contre,
    \[E(Z)=n\int_1^{+\infty}\dfrac1z\lp1-\dfrac1z\rp^{n-1}dz\]

    avec, en l'infini,
    \[\dfrac1z\lp1-\dfrac1z\rp^{n-1}\underset{\small+\infty}{\sim}\dfrac1z\]

    et donc l'intégrale diverge: $Z$ n'admet pas d'espérance et donc ni de variance.


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Tag:Variables aléatoires continues

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