Suite et série télescopique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit une suite de réels positifs décroissante et tendant vers 0.
Soit la suite définie par
- On suppose dans cette question que la série de terme général converge.
Montrer que est bornée.
- On suppose dans cette question que la suite est bornée.
- Calculer
- Montrer que la suite converge.
- Montrer que la série de terme général converge.
- Montrer que
- Montrer que la série de terme général converge.
Correction
Correction
- On a
d'après l'inégalité triangulaire et comme tous les termes sont positifs.
La somme est bornée car la série de terme général est supposée convergente.
De plus, comme cette série est convergente et que les termes sont positifs, on peut penser que est au moins de l'ordre de (par comparaison avec les séries de Riemann).
Plus précisément ici on a, comme la suite est décroissante
et donc
d'où, en sommant terme à terme toutes ces inégalités,
qui est borné car la série est supposée convergente.
Ainsi, est majorée, et est donc bornée. -
-
- Comme est une suite décroissance,
on a donc que et donc que d'où la suite est croissante.
Comme on a de plus supposé qu'elle était bornée, on en déduit qu'elle est convergente.
- On a, d'après ce qui précède,
Or on vient de montrer que est convergente, et il en va donc de même de la série de terme général .
- Soit un entier , alors comme
on a une somme télescopique:
puis, en revenant à la définition de ,
Or, la suite est décroissante et donc, comme à la question 1.,
d'où
Maintenant, est un entier fixé, et en faisant tendre , comme a une limite nulle, on obtient bien
- D'après les résultats précédents, on a montré que
la série de terme général
est convergente, donc son reste
tend vers 0 lorsque .
On a alors, comme est positif et d'après le théorème des gendarmes, que
Finalement, en revenant à la définition on a
et donc
où et, d'après 2.b, convergente, et la somme est donc aussi convergente.
En d'autres termes, la série de terme général converge (et, d'ailleurs, la somme de la série est égale à la limite de la suite ).
-
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