Suite, équivalents et série


On considère la fonction $f$ donnée par:
\[f(x)=\dfrac{1-cos(x)}{x}\]

et la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in\left]0,\dfrac\pi2\right]$ et $u_{n+1}=f\left( u_n\rp$ pour tout $n\in\N$.
  1. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction continue sur $\R$.
  2. Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_n\in]0, 1]$.
  3. Montrer que $(u_n)$ est décroissante, convergente et calculer sa limite.
  4. Montrer que $u_{n+1}\underset{n\to+\infty}{\sim}\dfrac12u_n$.
    La série de terme général $u_n$ converge-t-elle ?
  5. Pour quelles valeurs de a la série de terme général $a^n u_n$ converge-t-elle ?

Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019

On considère la fonction $f$ donnée par:
\[f(x)=\dfrac{1-cos(x)}{x}\]

et la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in\left]0,\dfrac\pi2\right]$ et $u_{n+1}=f\left( u_n\rp$ pour tout $n\in\N$.
  1. $f$ est clairement continue sur $\R^*$ comme quotient de fonctions continues sur $\R$ et dont le déniminateur ne s'annule qu'en 0.
    En 0, on a
    \[\cos(x)=1-\dfrac{x^2}2+o\left( x^2\rp\]

    et donc
    \[1-\cos(x)\underset{0}{\sim}\dfrac{x^2}2\]

    et alors, par quotient,
    \[f(x)\underset{0}{\sim}\dfrac{x}2\]

    ce qui montre que
    \[\lim_{x\to0}f(x)=0\]

    Ainsi, on peut prolonger $f$ en $\tilde{f}$ par continuité en 0, en posant $\tilde{f}(x)=f(x)$ pour $x\not=0$ et $\tilde{f}(0)=0$.
  2. On peut étudier les variations de $f$, qui est bien dérivable sur $\R^*$ donc sur $\left]0,\dfrac\pi2\right]$, avec
    \[f'(x)=\dfrac{x\sin(x)-1+\cos(x)}{x^2}\]

    Le signe du numérateur est problématique; on peut l'étudier à part: soit $h:x\mapsto x\sin(x)-1+\cos(x)$.
    Alors, $h$ est dérivable sur $\R$ avec $h'(x)=\sin(x)+x\cos(x)-\sin(x)=x\cos(x)$ et on a donc $h'(x)>0$ pour tout $x\in\left]0,\dfrac\pi2\right[$.
    Ainsi, $h$ est strictement croissante et donc pour $0< x\leqslant \dfrac\pi2$ on a en particulier $h(x)> h(0)=0$ et donc $h$, comme $f'$, est strictement positive et la fonction $f$ est donc strictement croissante.

    Maintenant, on a $u_0\in\left]0,\dfrac\pi2\right]\iff 0<u_0\leqslant\dfrac\pi2$, et donc, comme $f$ strictement croissante,
    \[\lim_{x\to0}f(x)=0< f(u_0)=u_1\leqslant f\lp\dfrac\pi2\rp=\dfrac2\pi\leqslant1\]

    puis, en réitérant ce raisonnement, par récurrence, si $u_n\in]0;1]$, alors
    \[0<u_{n+1}=f(u_n)\leqslant f(1)<f\lp\dfrac\pi2\rp<1\]

    ce qui montre bien que $u_n\in]0;1]$ pour tout entier $n$.
  3. Pour étudier le sens de variation de $(u_n)$ on peut érudier le signe de
    \[f(x)-x=\dfrac{1-\cos(x)-x^2}{x}\]

    Comme ici $x>0$, le signe de $f(x)-x$ est celui de $u(x)=1-\cos(x)-x^2$.
    On a $u'(x)=\sin(x)-2x$, que l'on peut à nouveau dériver: $u''(x)=\cos(x)-2<0$, donc $u'$ est strictement décroissante, donc
    \[x\in\left]0;\dfrac\pi2\right]\iff u'(0)=0>u'(x)\geqslant u'\lp\dfrac\pi2\rp=1-\pi\]

    Ainsi, en particulier, $u'(x)<0$ et donc $u$ est strictement décroissante, et donc
    \[x\in\left]0;\dfrac\pi2\right]\iff u(0)=0>u(x)\geqslant u\lp\dfrac\pi2\rp\]

    et en particulier, $u(x)$, comme $f(x)-x$ est négatif.
    Ainsi, comme $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n$, la suite $(u_n)$ est aussi décroissante.
    Comme cette suite est de plus minorée par 0, on en déduit qu'elle converge vers une limite $l\geqslant0$, telle que
    \[\tilde{f}(l)=l\]

    soit $l=0$, le seul point fixe de $\tilde{f}$.
  4. Comme $u_n\to0$, on a l'équivalent $u_{n+1}=f\left( u_n\rp\sim\dfrac{u_n}2$.

    En particulier, on a
    \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac12<1\]

    ce qui montre, d'après le critère de D'Alembert, que la série de terme général $u_n$ est convergente.
  5. Soit $v_n=a^nu_n$, alors
    \[\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=a\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\]

    et donc
    \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{a}2\]

    D'après le critère de D'Alembert, la série de terme général $v_n=a^nu_n$ converge lorsque $a<2$ et diverge lorsque $a>2$, tandis qu'on ne peut pas conclure ainsi pour $a=2$.



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