Somme et différence de suites arithmétique et géométrique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par, pour $n\in\N$, $u_n=\dfrac{2^n+3n-5}{2}$ et $v_n=\dfrac{2^n-3n+5}{2}$.
  1. Que peut-on dire des suites $(u_n+v_n)$ et $(u_n-v_v)$ ?
  2. En déduire $\dsp\sum_{k=0}^n u_k$ et $\dsp\sum_{k=0}^n v_k$.



Correction

Correction

  1. Pour tout entier $n$, on a $w_n=u_n+v_n=2^n$ et $z_n=u_n-v_n=3n-5$.
    Ainsi $\left( w_n\rp$ est géométrique et $\left( z_n\rp$ est arithmétique.
  2. On a alors, $\dsp\sum_{k=0}^n w_k=\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}=2^{n+1}-1$ et $\dsp\sum_{k=0}^nz_k=(n+1)\dfrac{z_0+z_n}{2}=\dfrac{(n+1)(3n-10)}{2}$.
    Comme $u_n=\dfrac{w_n+z_n}{2}$ et $v_n=\dfrac{w_n-z_n}{2}$, on en déduit que
    \[\sum_{k=0}^n u_k=\dfrac12\sum_{k=0}^n w_n+\dfrac12\sum_{k=0}^nz_n \text{ et } \sum_{k=0}^n v_k=\dfrac12\sum_{k=0}^n w_n-\dfrac12\sum_{k=0}^nz_n\]



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