Somme directe des noyau et image d'endomorphismes définis par compositions circulaires
Colle de mathématiques
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Énoncé du sujet
Soit
,
et
trois endomorphismes d'un même espace vectoriel
tels que
,
et
.
On note
.
Montrer que
puis que
.
Prouvez alors que
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/1.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/2.png)
![$h$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/3.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/4.png)
![$f\circ g=h$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/5.png)
![$g\circ h=f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/6.png)
![$h\circ f=g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/7.png)
![$f^n=f\circ f\circ\dots\circ f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/8.png)
Montrer que
![$f^2=g^2=h^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/9.png)
![$g^5=g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/10.png)
Prouvez alors que
![$E=\text{Ker}(g)\oplus\text{Im}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9/11.png)
Correction
![\[\begin{array}{ll}
f^2&=f\circ f\\
&=\left( g\circ h\rp\circ f\\
&=g\circ\left( h\circ f\rp\\
&=g\circ g=g^2
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/1.png)
En permuttant circulairement, on a de même
et donc
.
On a alors
![\[\begin{array}{ll}
g^5&=g^3\circ g^2\\
&=g^3\circ h^2\\
&=g^2\circ\left( g\circ h\rp\circ h\\
&=g^2\circ f\circ h\\
&=h^2\circ f\circ h\\
&=h\circ\left( h\circ f\rp\circ h\\
&=h\circ g\circ h\\
&=h\circ f\\
&=g
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/4.png)
D'après la relation précédente, on a pour tout
,
soit
,
c'est-à-dire que
pour tout
,
.
Ceci nous incite à regarder la décomposition de tout vecteur
selon
, où
comme on l'a vu (et fait exprès)
et
.
Cette décomposition montre donc que
.
De plus, soit
,
alors d'une part
,
et d'autre part, il existe
tel que
,
donc aussi
or
et donc
d'où
et donc la somme est directe:
![\[E=\text{Ker}(g)\oplus\text{Im}(g)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/23.png)
Correction
On a![\[\begin{array}{ll}
f^2&=f\circ f\\
&=\left( g\circ h\rp\circ f\\
&=g\circ\left( h\circ f\rp\\
&=g\circ g=g^2
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/1.png)
En permuttant circulairement, on a de même
![$g^2=h^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/2.png)
![$f^2=g^2=h^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/3.png)
On a alors
![\[\begin{array}{ll}
g^5&=g^3\circ g^2\\
&=g^3\circ h^2\\
&=g^2\circ\left( g\circ h\rp\circ h\\
&=g^2\circ f\circ h\\
&=h^2\circ f\circ h\\
&=h\circ\left( h\circ f\rp\circ h\\
&=h\circ g\circ h\\
&=h\circ f\\
&=g
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/4.png)
D'après la relation précédente, on a pour tout
![$x\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/5.png)
![$g(x)=g^5(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/6.png)
![$g(x)-g^5(x)=g\bigr(x-g^4(x)\bigl)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/7.png)
![$x\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/8.png)
![$x-g^4(x)\in\text{Ker}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/9.png)
Ceci nous incite à regarder la décomposition de tout vecteur
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/10.png)
![$x=\left( x-g^4(x)\rp+g^4(x)=y+z$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/11.png)
![$y=x-g^4(x)\in\text{Ker}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/12.png)
![$z=g^4(x)=g\bigl(g^3(x)\bigr)\in\text{Im}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/13.png)
Cette décomposition montre donc que
![$E=\text{Ker}(g)+\text{Im}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/14.png)
De plus, soit
![$x\in\text{Ker}(g)\cap\text{Im}(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/15.png)
![$g(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/16.png)
![$y\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/17.png)
![$x=g(y)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/18.png)
![$g^4(x)=g^5(y)=g(y)=x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/19.png)
![$g^4(x)=g^3\bigl(g(x)\bigr)=g^3(0)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/20.png)
![$x=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/21.png)
![$\text{Ker}(g)\cap\text{Im}(g)=\bigl\{0\bigr\}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/22.png)
![\[E=\text{Ker}(g)\oplus\text{Im}(g)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL9_c/23.png)
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