Série télescopique

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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Énoncé du sujet

Montrer que la série de terme général, pour $n\geq 2$ ,

$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

est convergente, et calculer sa somme

Correction

Il s'agit d'une série télescopique. La somme partielle s'écrit

$\begin{array}{lcl} S_n&=&\dsp\sum_{k=2}^n \lp\dfrac1{\sqrt{k-1}}-\dfrac2{\sqrt{k}}+\dfrac1{\sqrt{k+1}}\rp\\[1.2em] &=&\dsp\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}}-2\sum_{k=2}^n\dfrac1{\sqrt k}+\sum_{k=3}^{n+1} \dfrac1{\sqrt{k}}\\[1.2em] &=&1-\dfrac1{\sqrt 2}-\dfrac1{\sqrt n}+\dfrac1{\sqrt{n+1}}. \enar$

On trouve ainsi que cette suite converge, avec pour somme

$\lim_{n\to+\infty}S_n=1-\dfrac1{\sqrt2}$

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