Racine carrée d'une différence d'exponentielles


oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
Soit $c$ un réel strictement positif. On note $v$ l'application définie sur $\R$ par:
\[v(x)=\la\begin{array}{lll}0&\text{si}&x\leqslant0\\
\dfrac{e^{-c^2x}-e^{-4c^2x}}{x\ln4}&\text{si}&x>0\enar\right.\]


On admet que $v$ est une fonction densité de probabilité, et on note $X$ une variable aléatoire de densité $v$.
  1. Montrer que $X$ admet une espérance et calculer sa valeur.
  2. On note $Y =\sqrt{X}$. On admet que $Y$ est une variable à densité.
    Montrer que $Y$ admet une espérance et une variance et donner leurs valeurs.

Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
  1. $X$ admet une espérance si et seulement si
    \[\begin{array}{ll}E(X)&=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}xv(x)\,dx\\
  &=\dfrac1{\ln4}\dsp\int_0^{+\infty} \left( e^{-c^2x}-e^{-4c^2x}\rp\,dx\enar\]

    converge, ce qui est le cas, et on sait même facilement calculer cette intégrale
    \[\begin{array}{ll}E(X)&=\dfrac1{\ln4}\lb\dfrac{-1}{c^2}e^{-c^2x}\rb_0^{+\infty} - 
  \dfrac1{\ln4}\lb\dfrac{-1}{4c^2}e^{-4c^2x}\rb_0^{+\infty}\\
  &=\dfrac1{\ln4}\left( \dfrac1{c^2}-\dfrac1{4c^2}\rp\\
  &=\dfrac3{4c^2\ln4}\enar\]

  2. On $Y^2=X$ et $X$ admet une espérance, donc $Y$ admet un moment d'ordre 2, donc une espérance et un variance.
    Pour revenir à la loi de $X$, on passe classiquement par la fonction de répartition:
    \[\begin{array}{ll}F_Y(x)&=P(Y\leqslant x)\\
  &=P(\sqrt{X}\leqslant x)\\
  &=P(X\leqslant x^2)\\
  &=F_X(x^2)\enar\]

    et on revient à la densité en dérivant cette fonction de répartition:
    \[F_Y'(x)=2xF_X'(x^2)=2xv(x^2)\]

    et on a alors l'espérance
    \[E(Y) = \dfrac2{\ln4}\int_0^{+\infty}\left( e^{-c^2x^2}-e^{-4c^2x^2}\rp\,dx\]

    Il reste à calculer ces intégrales: on pose
    \[I_1=\int_0^{+\infty} e^{-c^2x^2}dx\]

    et
    \[I_2=\int_0^{+\infty} e^{-4c^2x^2}dx\]

    en utilisant l'intégrale de la densité de la loi normale.

    On sait en effet, grâce à la loi normale centrée réduite, que
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx=1\]

    d'où, par symétrie,
    \[I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2/2}dx=\dfrac{\sqrt{2\pi}}2\]


    Avec le changement de variable $u=\sqrt2cx$, on obtient
    \[\begin{array}{ll}I_1&=\dsp\int_0^{+\infty} e^{-u^2/2}\dfrac1{\sqrt2 c} du\\
  &=\dfrac1{\sqrt2 c}I =\dfrac{\sqrt\pi}{2c}
  \enar\]

    De même, en posant $v=2\sqrt2cx$ on obtient
    \[\begin{array}{ll}I_2&=\dsp\int_0^{+\infty} e^{-v^2/2}\dfrac1{2\sqrt2c}dv\\
  &=\dfrac1{2\sqrt2c}I=\dfrac{\sqrt\pi}{4c}
  \enar\]


    Finalement, on trouve donc par linéarité de l'intégrale
    \[E(Y)=\dfrac2{\ln4}\left( I_1-I_2\right)
  =\dfrac{\sqrt\pi}{4c\ln2}\]



    On peut enfin calculer la vairance à l'aide de la formule de König-Huygens:
    \[\begin{array}{ll}V(Y)&=E(Y^2)-E(Y)^2\\
  &=E(X)-E(Y)^2\\
  &=\dfrac3{4c^2\ln4}-\lp\dfrac{\sqrt\pi}{4c\ln2}\rp^2\\
  &=\dfrac{6\ln2-\pi}{16c^2\ln^22}
  \enar\]



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