Puissance n-ième d'une matrice 2x2 symétrique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
et
deux réels et
.
Calculer
pour tout entier
.
![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2/1.png)
![$b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2/2.png)
![$A=\lp\begin{array}{cc}a&b\\b&a\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2/3.png)
![$A^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2/4.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2/5.png)
Correction
.
Son polynôme caractéristique est
![\[\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&a-X\enar\right|
=(a-X)^2-b^2=(a-X+b)(a-X-b)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/2.png)
Ainsi
est diagonalisable avec comme valeurs propres
et
.
L'espace propre associé à
est engendré
par
avec
Si
, sinon
est déjà diagonale et
,
on trouve donc
et
.
De même, l'espace propre associé à
est engendré par
avec
et on trouve, toujours pour
,
et
.
La matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres
est
, et on a la relation
, puis
,
avec
,
donc
,
et![$P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/26.png)
d'où
![\[A^n=PD^nP^{-1}
=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}(a+b)^n+(a-b)^n&(a+b)^n-(a-b)^n\\
(a+b)^n-(a-b)^n&(a+b)^n+(a-b)^n\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/27.png)
Correction
On cherche à diagonaliser![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/1.png)
![\[\chi_A(X)=\det\left( A-XI_3\right)
=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&a-X\enar\right|
=(a-X)^2-b^2=(a-X+b)(a-X-b)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/2.png)
Ainsi
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/3.png)
![$\lambda_1=a+b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/4.png)
![$\lambda_2=a-b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/5.png)
L'espace propre associé à
![$\lambda_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/6.png)
![$V_1\lp\begin{array}{c}x\\y\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/7.png)
![$AV_1=(a+b)V_1\iff \la\begin{array}{l}by=bx\\bx=by\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/8.png)
![$b\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/9.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/10.png)
![$A^n=\lp\begin{array}{cc} a^n&0\\0&a^n\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/11.png)
![$x=y$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/12.png)
![$V_1\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/13.png)
De même, l'espace propre associé à
![$\lambda_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/14.png)
![$V_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/15.png)
![$AV_2=(a-b)V_2\iff \la\begin{array}{l}by=-bx\\bx=-by\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/16.png)
![$b\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/17.png)
![$x=-y$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/18.png)
![$V_2\lp\begin{array}{c}1\\-1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/19.png)
La matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres
![$\left( V_1;V_2\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/20.png)
![$P=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/21.png)
![$A=PDP^{-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/22.png)
![$A^n=PD^nP^{-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/23.png)
avec
![$D=\lp\begin{array}{cc}a+b&0\\0&a-b\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/24.png)
![$D^n=\lp\begin{array}{cc}(a+b)^n&0\\0&(a-b)^n\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/25.png)
et
![$P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/26.png)
d'où
![\[A^n=PD^nP^{-1}
=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}(a+b)^n+(a-b)^n&(a+b)^n-(a-b)^n\\
(a+b)^n-(a-b)^n&(a+b)^n+(a-b)^n\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex2_c/27.png)
Tags:DiagonalisationMatrices
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