Propriété des suites arithmétiques et application


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

  1. Montrer que une suite $(a_n)$ est arithmétique si et seulement si, pour tout entier $n$,
    \[a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2\]


    (Indication: on pourra s'intéresser à la suite $b_n=a_{n+1}-a_n$)
  2. On considère une suite $(x_n)$ définie par $x_0\in\R$, $x_1\in\R$ tels que $\dfrac{x_0}{x_1}\not=1-\dfrac1n$ pour tout entier non nul $n$, et, pour tout entier $n$, $x_{n+2}=\dfrac{x_{n+1}x_n}{2x_n-x_{n+1}}$.
    Déterminer l'expression de $x_n$ en fonction de $n$, $x_0$ et $x_1$.
    (Indication: on pourra s'intéresser à la suite $y_n=1/x_n$)



Correction

Correction

  1. Si $(a_n)$ est arithmétique, alors $a_n=a_0+nr$ et donc
    \[\begin{array}{ll}\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2&=\dfrac{a_0+(n-1)r+a_0+(n+1)r}2\\ &=a_0+nr=a_n\enar\]


    Réciproquement, supposons que pour tout entier $n$,
    \[a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2\iff2a_n=a_{n-1}+a_{n+1} \iff a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}\]

    soit, en posant $b_n=a_{n+1}-a_n$,
    \[b_n=b_{n-1}\]

    ce qui montre que cette suite est constante et donc que la suite $(a_n)$ est arithmétique.
  2. On considère une suite $(x_n)$ définie par $x_0\in\R$, $x_1\in\R$ tels que $\dfrac{x_0}{x_1}\not=1-\dfrac1n$ et, pour tout entier $n$, $x_{n+2}=\dfrac{x_{n+1}x_n}{2x_n-x_{n+1}}$.
    Déterminer l'expression de $x_n$ en fonction de $n$, $x_0$ et $x_1$.
    Soit $y_n=1/x_n$, alors
    \[\begin{array}{ll}&x_{n+2}=\dfrac{x_{n+1}x_n}{2x_n-x_{n+1}}\\[1em] &\iff y_{n+2}=2y_{n+1}-y_n\\[.8em] &\iff y_{n+1}=\dfrac{y_{n+2}+y_n}2\enar\]

    ce qui montre que la suite $(y_n)$, à l'aide la question précédente, est arithmétique, et donc que
    \[y_n=\dfrac1{x_n}=y_0+nr \iff x_n=\dfrac1{y_0+nr}\]

    avec $y_0=\dfrac1{x_0}$ et la raison
    \[r=y_{n+1}-y_n=y_1-y_0=\dfrac1{x_1}-\dfrac1{x_0}\]


    Les suites $(y_n)$ et $x_n)$ sont bien définies si
    \[\begin{array}{ll}y_0+nr\not=0 &\iff\dfrac1{x_0}+n\lp\dfrac1{x_1}-\dfrac1{x_0}\rp\not=0\\[1.em] &\iff1+n\lp\dfrac{x_0}{x_1}-1\rp\not=0\\[1.em] &\iff\dfrac{x_0}{x_1}\not=1-\dfrac1n\enar\]




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