Projections orthogonales


Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p,q\in\mathcal L(E)$ deux projecteurs orthogonaux.
  1. Montrer que, pour tout $x\in E$, on a $\|p(x)\|\leqslant\|x\|$.
  2. Montrer que $\ker(q)\subset\ker(p)$ si et seulement si, pour tout $x\in E$, $\|p(x)\|\leq \|q(x)\|$

Correction
  1. On écrit la décomposition orthognale sur $E=\ker(p)\oplus\text{Im}(p)$:
    \[x=p(x)+(x-p(x))\]

    avec, par le théorème de Pythagore,
    \[\|x\|^2=\|p(x)\|^2+\|x-p(x)\|^2\]

    d'où le résultat
    \[\|p(x)\|\leqslant\|x\|\]


  2. Supposons que pour tout $x\in E$, $\|p(x)\|\leq \|q(x)\|$.
    Soit $x\in\ker(q)$, c'est-à-dire $q(x)=0$ et alors on a $\|p(x)\|\leq \|q(x)\|=0$, d'où $p(x)=0$ et donc $x\in\ker(p)$.
    On vient donc de montrer que $\ker(q)\subset\ker(p)$.

    Réciproquement, supposons maintenant que $\ker(q)\subset\ker(p)$.
    Soit $x\in E$ qu'on décompose suivant la projection $q$, soit $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in\ker(q)$ et $x_2\in\text{Im}(q)$ alors
    \[q(x)=x_2\]

    et
    \[p(x)=p(x_1)+p(x_2)=p(x_2)\]

    car $x_1\in\ker(q)\subset\ker(p)$.
    Or $p$ est une projection orthogonale, donc, d'après la question précédente,
    \[\|p(x_2)\|\leqslant\|x_2\|\]

    d'où ici
    \[\|p(x)\|=\|p(x_2)\|\leqslant\|x_2\|=\|q(x)\|\]



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Tags:Espaces euclidiensProjecteurs

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