Projecteurs …

Soit

deux projecteurs d'un même espace vectoriel et vérifiant $\text{Im}(p)\subset \text{Ker}(q)$ .

Correction

Pour un quelconque , on a $y=q(x)\in\text{Im}(q)$ et donc, comme $\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)$ , on a $y\in\text{Ker}(q)$ et donc .
Ainsi, $q\circ p$ est l'application nulle.
On a, en développant et en utilisant , et $q\circ p=0$ ,

$\begin{array}{lcl} r^2 &=&\left( p+q-p\circ q\rp\circ\left( p+q-p\circ q\rp \\[.6em] &=&\phantom{+} p^2+p\circ q-p^2\circ q \\[.3em] && +q\circ p+q^2-q\circ p\circ q\\[.3em] && -p\circ q\circ p-p\circ q^2+ p\circ q\circ p\circ q\\[.7em] &=& p+p\circ q-p\circ q \\[.3em] && +0+q-0\\[.3em] && -0-p\circ q+ 0\\[.7em] &=&p+q-q\circ p = r \enar$

ce qui montre que est un projecteur.

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