Probabilités avec une densité


Soit la fonction $f:x\in\R\mapsto\la\begin{array}{ll}0 &\text{ si } x<2\\
\dfrac{a}{x\ln^2(x)} &\text{ si } x\geq2\enar\right.$
  1. Déterminer $a$ pour cette fonction soit la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$.
  2. Déterminer la fonction de répartition de $X$.
  3. Calculer les probabilités $P(0\leq X\leq4)$ et $P(X\geq 8)$.

Correction
    • $f$ est continue et dérivable sur $\R$, sauf en un nombre fini de points, ici sauf en 2.
    • $f$ est positive sur $\R$.
    • Il reste à montrer que $\int_\R f$ converge et vaut 1.
      On a
      \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_2^{+\infty}\dfrac{a}{x\ln^2(x)}dx\]


      avec $f$ continue sur $[2;+\infty[$ et donc il suffit d'étudier la convergence de l'intégrale généralisée en $+\infty$. On connaît une primitive de cette fonction
      \[\int_2^A\dfrac1{x\ln^2(x)}dx=
    \lb-\dfrac1{\ln(x)}\rb_2^A
    =-\dfrac1{\ln(A)}+\dfrac1{\ln(2)}\]

      et donc l'intégrale est convergente avec
      \[\int_2^{+\infty}\dfrac{a}{x\ln^2(x)}dx=\dfrac{a}{\ln(2)}\]

      et on doit donc avoir $a=\ln(2)$ pour que la valeur de cette intégrale soit 1.

  1. Le calcul précédent donne aussi la fonction de répartition.
    Pour $x\leq 2$, on a $F_X(x)=0$, et pour $x>2$,
    \[\begin{array}{ll}F_X(x)&=P(X\leq x)\\[.6em]
    &=\dsp\int_{-\infty}^x f(x)dx\\
    &=\dsp\ln(2)\int_2^x\dfrac1{x\ln^2(x)}dx\\[1.2em]
    &=\ln(2)\lb-\dfrac1{\ln(x)}\rb_2^x\\[1em]
    &=-\dfrac{\ln(2)}{\ln(x)}+1\enar\]


  2. En utilisant la fonction de répartition, on a
    \[P(0\leq X\leq2)=F_X(2)-F_X(0)=
    1-\dfrac{\ln(2)}{\ln(4)}\]

    soit, avec $\ln(4)=2\ln(2)$,
    \[P(0\leq X\leq2)=\dfrac12\]


    De même,
    \[P(X\geq8)=1-F_X(8)=\dfrac{\ln(2)}{\ln(8)}=\dfrac13\]



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Tag:Variables aléatoires continues

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