Optimisation des dimensions d'une boite


On désire fabriquer une boite ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette boite doit être égal à $0,5m^3$ et pour optimiser la quantité de matière utilisée, on désire que la somme des aires des faces soit aussi petite que possible.
Quelles dimensions doit-on choisir pour fabriquer la boite?

Correction
On note $x$, $y$ les dimensions de la base et $z$ la hauteur de la boite. Son volume est donc $xyz=\dfrac12$, et la somme des aires des faces, sans couvercle, est
\[f(x,y,z)=xy+2xz+2yz\]

ou encore, en remplaçant $z=\dfrac1{2xy}$, on cherche le minimum de la fonction de deux variables
\[g(x,y)=xy+\frac 1x+\frac 1y\]

pour $(x,y)\in\lp\R_+^*\rp^2$.
Les dérivées partielles de $g$ sont
\[\dfrac{\partial g}{\partial x}=y-\frac 1{x^2}
\text{ et }
\dfrac{\partial g}{\partial y}=x-\frac 1{y^2}\]

Les points critiques sont solutions de
\[\la\begin{array}{ll}y=\dfrac1{x^2}\\[.8em]
x=\dfrac1{y^2}
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}y=y^4\\[.5em]
x=x^4
\enar\right.\]

et le seul point critique de $g$ est $(1,1)$.
On calcule ensuite les dérivées secondes:
\[\begin{array}{lcl}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)&=&\dfrac2{x^3}
\\[1em]
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)&=&\dfrac2{y^3}
\\[1em]
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)&=&1
\enar\]

et alors $st-r^2>0$ et $g$ admet donc un minimum en $(1,1)$.
Les trois dimensions recherchées sont enfin $x=1$, $y=1$ et $z=1/2$.

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Tag:Fonctions de plusieurs variables

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