Nature de l'intégrale …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Étudier la nature de l'intégrale
![$\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6/1.png)
Correction
est continue sur
.
Seul se pose donc le problème de la convergence de l'intégrale en
.
Or, en
,
,
ce qui signifie que, en
,
.
Or
est le terme d'une intégrale de Riemann convergente, et il en est donc de même pour notre intégrale.
Correction
![$x\mapsto\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6_c/1.png)
![$[0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6_c/2.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6_c/3.png)
Or, en
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6_c/4.png)
![$\dfrac{\frac{xe^{-x}}{1+x^2}}{\frac1{x^2}}=x^2\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}
\sime^{-x}\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6_c/5.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6_c/6.png)
![$\dfrac{xe^{-x}}{1+x^2}=o\lp\dfrac1{x^2}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6_c/7.png)
Or
![$x\mapsto\dfrac1{x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN6_c/8.png)
Tag:Intégrale
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