Nature de l'intégrale …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Étudier la nature de l'intégrale
![$\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{(1-x)\sqrt{x}}\,dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4/1.png)
Correction
est continue sur
.
Il suffit donc d'étudier la convergence aux bornes
et
.
En
, on a
qui est le terme d'une intégrale de Riemann convergente.
Donc l'intégrale est convergente en
.
En
, en posant
,
on a
qui est le terme d'une intégrale de Riemann divergente.
Ainsi, l'intégrale est divergente.
Correction
![$x\mapsto\dfrac1{(1-x)\sqrt{x}}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/1.png)
![$]1;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/2.png)
![$1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/3.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/4.png)
En
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/5.png)
![$\dfrac1{(1-x)\sqrt{x}}\sim -\dfrac1{x\sqrt{x}}=-\dfrac1{x^{3/2}}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/6.png)
Donc l'intégrale est convergente en
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/7.png)
En
![$1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/8.png)
![$u=1-x\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/9.png)
![$\dfrac1{(1-x)\sqrt{x}}=\dfrac1{u\sqrt{1-u}}\sim\dfrac1u$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN4_c/10.png)
Ainsi, l'intégrale est divergente.
Tag:Intégrale
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