Matrice d'une application linéaire. Bijective ? Changement de base.

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit $f:\la\begin{array}{ccl}\R^3&\to&\R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto&(x-2y+z,y-z,2x-y-z)\enar\right.$

Monter que est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique $\left( e_1,e_2,e_3\rp$ de $\R^3$ .
est-elle bijective ?
Donner un vecteur $u\in\R^3$ non nul du noyau de .
Montrer que $\left( u,e_1,f\left( e_1\rp\rp$ est une base de $\R^3$ .
Donner alors la matrice de dans cette base.

Correction

Soit $f:\la\begin{array}{ccl}\R^3&\to&\R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto&(x-2y+z,y-z,2x-y-z)\enar\right.$

est clairement linéaire et sa matrice dans la base canonique de $\R^3$ est:

$\lb\begin{array}{rrr}1&-2&1 \\ 0&1&-1 \\ 2&-1&-1\enar\rb$
On calcule le déterminant de . La somme des 3 colonnes donne le vecteur nul; ce déterminant est donc nul, et n'est pas bijective.
Soit $u(x,,z)\in\R^3$ , alors

$u\in\ker(f) \iff\la\begin{array}{rcl} x-2y+z&=&0 \\ y-z&=&0\\2x-y-z&=&0\enar\right. \iff x=y=z$

Ainsi, $u(1,1,1)\in\ker(f)$ .
On a , et donc le déterminant de la famille $\left( u,e_1,f\left( e_1\rp\rp$ s'écrit dans la base canonique,

$\left|\begin{array}{rrr} 1&1&1 \\ 1&0&0 \\1&0&2 \enar\right| =-2\not=0$

Cette famille est donc libre, donc aussi une base de $\R^3$ .

On a directement, , et pour les images des deux premiers vecteurs de cette base, donc dans cette bse la matrice de s'écrit: $\lb\begin{array}{rrr} 0&0&\alpha \\ 0&0&\beta \\0&1&\gamma \enar\rb$ .
Il reste à déterminer $f\left( f(e_1)\rp=f(e_1+2e_3)=f(e_1)+2f(e_3) =e_1+2e_3+2(e_1-e_2-e_3)=3e_1-2e_2$ .
On cherche donc $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ tels que

$f(f(e_1))=\lp\begin{array}{c}3\\-2\\0\enar\rp=\alpha u+\beta e_1+\gamma f(e_1) =\alpha\lp\begin{array}{c}1\\1\\1\enar\right) +\beta\lp\begin{array}{c}1\\0\\0\enar\right) +\gamma\lp\begin{array}{c}1\\0\\2\enar\rp$

On trouve facilement, d'abord (2ème ligne) $\alpha=-2$ , puis (3ème ligne) $\beta=1$ , et enfin $\gamma=4$ . Ainsi, dans la base $\left( u,e_1,f(e_1)\rp$ , la matrice de est $\lb\begin{array}{rrr} 0&0&-2 \\ 0&0&1 \\0&1&4 \enar\rb$ .

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