Lois de Pareto et exponentielle


Soit $x_n>0$ et soit $\alpha>0$. On définit $X$ une variable aléatoire telle que:
\[\forall x\in\R, \ P(X>x)=\la\begin{array}{cl}\lp\dfrac{x_n}{x}\rp^\alpha &\text{si }\, x\geqslant x_n\\[1em]
1 &\text{sinon}\enar\right.\]

  1. Montrer que $X$ est une variable aléatoire à densité, calculer sa densité.
    Représenter une allure de la fonction de répartition et de la densité.
    On dit que $X$ suit une loi de Pareto de paramètres $x_n$ et $\alpha$.
  2. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Pareto de paramètres $x_n$ et $\alpha$.
    Calculer $P(X > x + y | X > x)$.
    Qu'en est-il si $X$ suit une loi exponentiellle de paramètre $\lambda$ ?
  3. Montrer que :
    \[X \text{ est de loi de Pareto de param\`etres } x_n \text{ et } \alpha
  \iff \ln\lp\dfrac{X}{x_n}\right) \text{ est de loi } \mathcal{E}(\alpha)\]

  4. À quelles conditions sur $\alpha$, $X$ admet-elle une espérance ?

Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019

Soit $x_n>0$ et soit $\alpha>0$. On définit $X$ une variable aléatoire telle que:
\[\forall x\in\R, \ P(X>x)=\la\begin{array}{cl}\lp\dfrac{x_n}{x}\rp^\alpha &\text{si }\, x\geqslant x_n\\[1em]
1 &\text{sinon}\enar\right.\]

  1. On note $F_X(x)=P(X\leqslant x)$.
    Alors, si $x<x_n$, on a $F_X(X)=0$ et pour $x\geqslant x_n$, on a
    \[F_X(x)=1-P(X>x)=1-\lp\dfrac{x_n}{x}\rp^\alpha\]

    $F_X$ est continue sur $\R$ (à vérifier en $x_n)$, et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, sauf en $x_n$.
    La fonction densité est alors
    \[f_X(x)=F'_X(x)=\la\begin{array}{cl}\alpha\dfrac{x_n^\alpha}{x^{\alpha+1}} &\text{si }\, x\geqslant x_n\\[1em]
  1 &\text{sinon}\enar\right.\]

    $f_X\geqslant0$ et
    \[\begin{array}{ll}\dsp\int_\R f_X(x)\,dx
  &=\alpha x_n^\alpha\dsp\int_{x_n}^{+\infty}x^{-\alpha-1}dx\\
  &=\alpha x_n^\alpha\left[ \dfrac1{-\alpha}x^{-\alpha}\rb_{x_n}^{+\infty}\\
  &=1
  \enar\]

    et donc $X$ est bien une variable aléatoire à densité de densité $f_X$.

  2. Pour $x\geqslant x_n$ et donc $x+y\geqslant x_n$, on a
    \[\begin{array}{ll}P(X>x+y | X>x)&=\dfrac{P(X>x+y \cap X>x)}{P(X>x)}\\[1em]
  &=\dfrac{P(X>x+y)}{P(X>x)}\\[1.2em]
  &=\lp\dfrac{x}{x+y}\rp^\alpha
  \enar\]




    Si $X$ suit une loi exponentiellle de paramètre $\lambda$ alors, de même que précédemment,
    \[\begin{array}{ll}P(X>x+y | X>x)&=\dfrac{P(X>x+y \cap X>x)}{P(X>x)}\\[1em]
  &=\dfrac{P(X>x+y)}{P(X>x)}\\[1.2em]
  &=\dfrac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda x}}=e^{-\lambda y}=P(X>y)
  \enar\]

  3. Soit la variable aléatoire $Y=\ln\lp\dfrac{X}{x_n}\rp$, alors par croissance du logarithme,
    \[\begin{array}{ll}
  P(Y\leqslant y)&=P\left( \ln\left(\dfrac{X}{x_n}\rp\leqslant y\rp\\[1em]
  &=P\left( X\leqslant x_n e^y\rp\\[.6em]
  &=\la\begin{array}{ll}
  1-\lp\dfrac{x_n}{x_ne^y}\rp^\alpha &\text{ si } x_ne^y\geqslant x_n\\
  0 & \text{ sinon }\enar\right.\\[2em]
  &=\la\begin{array}{ll}
  1-e^{-\alpha y} &\text{ si } y\geqslant 0\\
  0 & \text{ sinon }\enar\right.\\
  \enar\]

    et on trouve bien que $Y$ suit la loi $\mathcal{E}(\alpha)$.
  4. On a
    \[\int_\R xf_X(x)\,dx=\alpha x_n^\alpha\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac1{x^\alpha}\,dx\]

    Cette intégrale, de Riemann, converge, et donc l'espérance existe, si et seulement si $\alpha>1$.


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