Loi d'un produit


Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. Soit $Y$ une variable aléatoire, indépendante de $X$, et telle que $P(Y=1)=p$ et $P(Y=-1)=1-p$.
Montrer que $Z=XY$ a la même loi que $X$.

Correction
On cherche la fonction de répartition de la variable $Z=XY$, soit

\[F_Z(x)=P(Z\leq x)=P(XY\leq x)\]
Comme $Y$ ne peut prendre que deux valeurs, on peut utiliser la formule des probabilités totales:

\[\begin{array}{ll}
F_Z(x)&=P(XY\leq x)\\[.5em]
&=P\bigl((XY\leq x)\cap(Y=1)\bigr)
+P\bigl((XY\leq x)\cap(Y=-1)\bigr)\\[.5em]
&=P\bigl((Y\leq x)\cap(Y=1)\bigr)
+P\bigl((-Y\leq x)\cap(Y=-1)\bigr)
\enar\]
et, par indépendance des variables
\[F_Z(x)=p\,P(Y\leq x)+(1-p)\,P(-Y\leq x)\]

et donc, avec $\Phi$ la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite
\[\begin{array}{ll}
F_Z(x)
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,P(Y\geq -x)\\[.5em]
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,(1-\Phi(-x))\\[.5em]
&=p\,\Phi(x)+(1-p)\,\Phi(x)\\[.5em]
&=\Phi(x)
\enar\]

Ainsi, $F_Z=\Phi$ et donc $Z$ suit aussi la loi normale centrée réduite.

Cacher la correction


Tag:Variables aléatoires continues

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