Limite de la dérivée d'une fonction bornée
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Soit
une fonction bornée et dérivable telle que
.
Montrer que
.
![$f:\R\to\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee/1.png)
![$\dsp\lim_{+\infty}f'=l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee/2.png)
Montrer que
![$l=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee/3.png)
Correction
. On peut supposer par exemple que
.
On a donc, par définition de la limite,
![\[\forall\varepsilon>0, \exists A>0,\forall x\geqslant A, l-\varepsilon<f'(x)<l+\varepsilon\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/3.png)
En particulier, à partir d'un certain A, on a
.
Par exemple en choisissant
, il existe
tel que, pour tout
, on a
![\[f'(x)\geq l/2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/8.png)
On a alors, pour tout
, d'après le théorème des accroissements finis,
![\[f(x)-f(A)=f'(c)(x-A)\geq\dfrac{l(x-A)}2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/10.png)
avec
.
Lorsque
vers
, on trouve que maintenant que
tend aussi vers
, ce qui est une contradictoire avec le fait qu'elle est bornée.
Correction
Supposons que![$l\neq 0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/1.png)
![$l>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/2.png)
On a donc, par définition de la limite,
![\[\forall\varepsilon>0, \exists A>0,\forall x\geqslant A, l-\varepsilon<f'(x)<l+\varepsilon\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/3.png)
En particulier, à partir d'un certain A, on a
![$f'(x)>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/4.png)
Par exemple en choisissant
![$\varepsilon=l/2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/5.png)
![$A>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/6.png)
![$x\geq A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/7.png)
![\[f'(x)\geq l/2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/8.png)
On a alors, pour tout
![$x\geq A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/9.png)
![\[f(x)-f(A)=f'(c)(x-A)\geq\dfrac{l(x-A)}2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/10.png)
avec
![$c\in[A,x]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/11.png)
Lorsque
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/12.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/13.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/14.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF-limite-derivee_c/15.png)
Tags:DérivéeRolle - AF
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)