Limite d'un quotient de differences
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Soit 
une fonction dérivable en 
.
Montrer que
admet une limite lorsque 
.
une fonction dérivable en . Montrer que
admet une limite lorsque .
Correction
est dérivable en 
,
on sait que 
.
De plus, en faisant apparaître ce quotient,
![\[\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}
=\dfrac{x\Bigl( f(x_0)-f(x)\Bigr) +xf(x)-x_0f(x)}{x-x_0}
=-x\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+f(x)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex5_c/4.png)
et ainsi,
![\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}
=-x_0f'(x_0)+f(x_0)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex5_c/5.png)
Correction
Comme est dérivable en ,
on sait que .
De plus, en faisant apparaître ce quotient,
et ainsi,
Tag:Dérivée
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