Lien suite et série


On considère une suite $(u_n)$ donnée par $u_1\geq0$ et $u_{n+1}=\dfrac{3n-1}{3n} u_n$ pour $n\geq 1$.
  1. Démontrer que $(u_n)$ converge.
  2. On pose, pour $n\geq 0$, $v_n=\ln\left( n^{1/3}u_n\rp$.
  3. Démontrer que $v_{n+1}-v_n=-\dfrac2{9n^2}+o\lp\dfrac 1{n^2}\rp$.
  4. En déduire que la série de terme général $w_n=v_{n+1}-v_n$ converge.
  5. En déduire que la suite $(v_n)$ converge. On notera $\lambda$ sa limite.
  6. Donner un équivalent simple de $(u_n)$. La série de terme général $u_n$ est-elle convergente?

Correction
  1. On a directement que
    \[\begin{array}{ll}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{3n-1}{3n}\\
  &=1-\dfrac1{3n}\leq1\enar\]

    et donc, comme la suite est positive (par une récurrence immédiate), on en déduit que la suite $(u_n)$ est décroissante, et minorée, donc convergente.
  2. On a
    \[\begin{array}{lcl}
  v_{n+1}-v_n&=\ln\lp(n+1)^{1/3}u_{n+1}\rp-\ln\lp n^{1/3}u_n\rp\\[.8em]
  &=\ln\lp\dfrac{(n+1)^{1/3}u_{n+1}}{n^{1/3}u_n}\rp\\[1.2em]
  &=\ln\lp\lp\dfrac{n+1}{n}\rp^{1/3}\tm\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\rp\\[1.2em]
  &=\ln\lp\lp1+\dfrac1n\rp^{1/3}\dfrac{3n-1}{3n}\rp\\[1.4em]
  &=\dfrac13\ln\lp1+\dfrac1n\rp+\ln\lp1-\dfrac1{3n}\rp
  \enar\]

    puis, en utilisant le développement limité du logarithme,
    \[\begin{array}{ll}
  v_{n+1}-v_n&=\dfrac13\lp\dfrac1n-\dfrac{1}{2n^2}\right)
  -\dfrac1{3n}-\dfrac1{2(3n)^2}
  +o\lp\dfrac1{n^2}\rp\\[1.2em]
  &=-\dfrac2{9n^2}+o\lp\dfrac1{n^2}\right)
  \enar\]

  3. On a
    \[w_n=v_{n+1}-v_n\sim\dfrac{-2}{9n^2}\]

    et donc, par comparaison avec une série de Riemann convergente, la série de terme général $w_n$ est convergente.
  4. On passe maintenant d'une série télescopique à une suite:
    \[\sum_{n=1}^{N-1}w_n=\sum_{n=1}^{N-1}(v_{n+1}-v_n)=v_N-v_0\]

    et, puisque la série est convergente, il en est de même de la suite $(v_N)$.
  5. On a
    \[\lim_{n\to+\infty}\ln(n^{1/3}u_n=\lambda\]

    et donc,
    \[u_n\sim\dfrac{e^{\lambda}}{n^{1/3}}\]

    et ainsi, par comparaison avec une série de Riemann divergente, la série de terme général $(u_n)$ est aussi divergente.


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