Fonction grandement simplifiable (avec fonctions trigonométriques réciproques)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Simplifier
(préciser
,
et calculer
).
![$f(x)=2\arctan\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}+\arcsin(2x-1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4/1.png)
(préciser
![$\mathcal{D}_f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4/2.png)
![$\mathcal{D}_f'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4/3.png)
![$f'(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4/4.png)
Correction
est définie sur
et
sur
et donc
est bien définie lorsque
existe et
.
existe si et seulement si
et
.
Or
est du même signe que
qui est un trinôme du second degré,
donc positif à l'intérieur de ses racines 0 et 1.
D'autre part,
.
En résumé, les deux termes sont définis, donc
, lorsque
.
Pour la dérivabilité de
, on sait de plus que
n'est pas dérivable en
donc
n'est pas dérivable en
.
De même,
n'est pas dérivable en
, et ici
.
En résumé,
est dérivable sur
.
Pour tout
,
![\[f'(x)=2\dfrac{u'(x)}{1+u^2(x)}+\dfrac{v'(x)}{\sqrt{1-v^2(x)}}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/27.png)
où
et
.
On a alors
et
, d'où
![\[\begin{array}{ll}f'(x)
&=-\dfrac{1}{x^2\sqrt{\frac{1-x}{x}}\lp1+\dfrac{1-x}{x}\right)}
+\dfrac2{\sqrt{1-\lp2x-1\rp^2}}\\[1em]
&=-\dfrac1{x\sqrt{\frac{1-x}{x}}}
+\dfrac2{\sqrt{4x(1-x)}}\\[1em]
&=-\dfrac1{\sqrt{x^2\frac{1-x}{x}}}
+\dfrac1{\sqrt{x(1-x)}}\\[1em]
&=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/32.png)
Ainsi,
est constante sur
, où elle est continue,
avec
, et on a donc obtenu
![\[\forall x\in]0;1]\,,\ f(x)=\dfrac\pi2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/36.png)
Correction
![$\arctan$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/2.png)
![$\arcsin$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/3.png)
![$[-1;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/4.png)
![$f(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/5.png)
![$\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/6.png)
![$2x-1\in[-1;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/7.png)
![$\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/8.png)
![$x\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/9.png)
![$\dfrac{1-x}{x}\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/10.png)
![$\dfrac{1-x}{x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/11.png)
![$x(1-x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/12.png)
D'autre part,
![$-1\leqslant 2x-1\leqslant1 \iff 0\leqslant x\leqslant1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/13.png)
En résumé, les deux termes sont définis, donc
![$f(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/14.png)
![$x\in\mathcal{D}_f=]0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/15.png)
Pour la dérivabilité de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/16.png)
![$\sqrt{x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/17.png)
![$0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/18.png)
![$x\mapsto\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/19.png)
![$\dfrac{x-1}{x}=0\iff x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/20.png)
De même,
![$\arcsin$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/21.png)
![$\pm1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/22.png)
![$2x-1=\pm1\iff\bigl(x=0\text{ ou }x=1\bigr)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/23.png)
En résumé,
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/24.png)
![$\mathcal{D}_{f'}=]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/25.png)
Pour tout
![$x\in]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/26.png)
![\[f'(x)=2\dfrac{u'(x)}{1+u^2(x)}+\dfrac{v'(x)}{\sqrt{1-v^2(x)}}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/27.png)
où
![$u(x)=\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}=\sqrt{\lp\dfrac1x-1\right)}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/28.png)
![$v(x)=2x-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/29.png)
On a alors
![$u'(x)=\dfrac{-\frac1{x^2}}{2\sqrt{\frac{1-x}{x}}}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/30.png)
![$u'(x)=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/31.png)
![\[\begin{array}{ll}f'(x)
&=-\dfrac{1}{x^2\sqrt{\frac{1-x}{x}}\lp1+\dfrac{1-x}{x}\right)}
+\dfrac2{\sqrt{1-\lp2x-1\rp^2}}\\[1em]
&=-\dfrac1{x\sqrt{\frac{1-x}{x}}}
+\dfrac2{\sqrt{4x(1-x)}}\\[1em]
&=-\dfrac1{\sqrt{x^2\frac{1-x}{x}}}
+\dfrac1{\sqrt{x(1-x)}}\\[1em]
&=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/32.png)
Ainsi,
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/33.png)
![$]0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/34.png)
![$f(1)=2\arctan0+\arcsin1=\dfrac\pi2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/35.png)
![\[\forall x\in]0;1]\,,\ f(x)=\dfrac\pi2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/36.png)
Tag:Dérivée
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