Famille libre de polynômes de degrés distincts
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Montrer que toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.
Correction
polynômes
,
, … ,
de degrés respectifs
,
, … ,
.
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants:
.
Soit maintenant
,
, … ,
tels que
![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_nP_n=-\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus
et, si
,
ce qui est impossible.
On a donc necéssairement
.
Par une récurrence immédiate, on a alors successivement
, ce qui montre que la famille est libre.
Correction
On considère une famille de![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/1.png)
![$P_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/2.png)
![$P_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/3.png)
![$P_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/4.png)
![$d_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/5.png)
![$d_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/6.png)
![$d_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/7.png)
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants:
![$d_1<d_2<\dots<d_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/8.png)
Soit maintenant
![$\lambda_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/9.png)
![$\lambda_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/10.png)
![$\lambda_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/11.png)
![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_nP_n=-\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus
![$d_{n-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/14.png)
![$\lambda_n\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/15.png)
![$d_n=\text{deg}\left( \lambda_nP_n\rp>d_{n-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/16.png)
![$\lambda_n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/17.png)
Par une récurrence immédiate, on a alors successivement
![$\lambda_{n-1}=\lambda_{n-1}=\dots=\lambda_1=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/18.png)
Tags:Espace vectorielPolynôme
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