Famille libre de polynômes de degrés distincts
Montrer que toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.
Correction
On considère une famille de
polynômes
,
, … ,
de degrés respectifs
,
, … ,
.
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants:
.
Soit maintenant
,
, … ,
tels que
![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_nP_n=-\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus
et, si
,
ce qui est impossible.
On a donc necéssairement
.
Par une récurrence immédiate, on a alors successivement
, ce qui montre que la famille est libre.
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On considère une famille de







Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants:

Soit maintenant



![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_nP_n=-\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus




Par une récurrence immédiate, on a alors successivement

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Tags:Espace vectorielPolynôme
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