Famille libre à compléter


On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs
$$v_1=(1,-1,1),\ v_2=(2,-2,2),\ v_3=(2,-1,2).$$

  1. Peut-on trouver un vecteur $w$ tel que $(v_1,v_2,w)$ soit libre? Si oui, construisez-en un.
  2. Même question en remplaçant $v_2$ par $v_3$.

Correction
  1. On a $v_2=2v_1$. La famille $(v_1,v_2)$ est donc liée.
    Quel que soit le vecteur $w$ qu'on ajoute à cette famille, elle sera encore liée, puisqu'on aura toujours $2v_1-v_2+0w=0$, combinaison linéaire dont les coefficients ne sont pas tous nuls.
  2. La famille $(v_1,v_3)$ est libre.
    D'après le théorème de la base incomplète, on sait qu'on peut utiliser, par exemple, les vecteurs de la base canonique de $\R^3$, qui est bien génératrice de $\R^3$ pour compléter notre famille en une base.
    On peut essayer d'utiliser par exemple $w=e_1=(1,0,0)$. Il reste alors à vérifier que la famille ainis formée $(v_1,v_3,w)$ est libre.
    En effet, si $av_1+bv_3+c w=0$, on a
    \[\la\begin{array}{rcl}
    a+2b+c&=&0\\
    -a-b&=&0\\
    a+2b&=&0
  \enar\right.
  \iff\la\begin{array}{rcl}
    a+2b+c&=&0\\
    -a-b&=&0\\
    3b&=&0
  \enar\right.\]

    d'où $a=b=c=0$ et la famille est libre.


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Tag:Espace vectoriel

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