Expression d'une série entière à l'aide d'une équation différentielle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
On pose
![$f(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE5/1.png)
- Déterminer l'ensemble de définition de
.
- Calculer
,
puis
. En déduire
.
Correction
Correction
On pose![$f(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE5_c/1.png)
-
est une série entière et
pour tout réel
.
Ainsi la série a un rayon de convergence infini, et.
- En particulier,
est
sur
, et on peut dériver la série terme à terme, d'où
et
En particulier, on trouve que.
On résout alors cette équation différentielle. L'équation homogène est, d'équation caractéristique
de racines
et
et donc,
. Une solution particulière est
, d'où la solution générale:
On a de pluset
.
On trouve donc, finalement, que
Tags:Séries entièresÉquation différentielle
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