Exponentielle et logarithme


oral HEC, BL - 2022
  1. Question de cours : Fonction de répartition et densité d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
  2. $\lambda$ désigne un réel strictement positif. On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par:
    \[h(x)=\la\begin{array}{cll}\lambda^2xe^{-\lambda x}&\text{si}&x\geqslant0 \\0 &\text{si} &x<0\enar\right.\]

    1. Montrer que $h$ peut être considérée comme la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$.
    2. Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

  3. Dans cette question, on considère une variable aléatoire $Y$ de densité $f$, nulle sur $]-\infty; 0[$, continue sur $[0;+\infty[$ et strictement positive sur $[0;+\infty[$. On note alors $F$ la fonction de répartition de $Y$.
    1. Justifier que pour tout réel $x$ , on a $1 - F (x) > 0$.

      On définit alors la fonction $g$ par:
      \[g(x) = \la\begin{array}{cll}-f(x)\ln(1-F(x))&\text{si}&x\geqslant0\\0&\text{si}&x<0\enar\right.\]

    2. Montrer que $g$ peut être considérée comme la densité d'une variable aléatoire $Z$.

Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice avec préparation
  1. La densité d'une variable aléatoire $U$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est nulle sur $\R_-$ et a pour expression
    \[f_U(x)=\la\begin{array}{cll}\lambda e^{-\lambda x}&\text{pour}&x\geqslant 0\\0&\text{si}&x<0\enar\right.\]


    La fonction de répartition a quant à elle pour expression
    \[F_U(x)=\la\begin{array}{cll}1-e^{-\lambda x}&\text{pour}&x\geqslant 0\\0&\text{si}&x<0\enar\right.\]


    1. $h$ est une fonction positive, continue par morceaux. Il reste à calculer l'intégrale sur $\R$ de cette fonction.
      On peut soit la calculer directement, à l'aide d'une intégration par parties, ou s'aidant de la question précédente, en utilisant l'expérance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle qui vaut
      \[\begin{array}{ll}E(U)&=\dsp\int_\R xf_U(x)dx\\[1em]
  &=\dsp\int_\R\lambda xe^{-\lambda x}dx=\dfrac1\lambda\enar\]

      On a donc ici,
      \[\int_\R h(x)dx=\lambda\int_R\lambda xe^{-\lambda x}dx=\lambda\tm\dfrac1\lambda=1\]

      ce qui finit de montrer que $h$ est une densité de probabilité.
    2. L'espérance de $X$ est alors, si elle existe, c'est-à-dire si l'intégrale converge,
      \[E(X)=\int_\R xh(x)dx\]

      On peut là aussi calculer cette intégrale en intégrant par parties, ou utiliser les propriétés de la loi exponentielle, ici sa variance, et la formule König-Huygens:
      \[V(U)=E(Y^2)-E(Y)^2=\dfrac1{\lambda^2}\]

      d'où
      \[E(Y^2)=\dfrac1{\lambda^2}+E(Y)^2=\dfrac2{\lambda^2}\]

      et alors
      \[E(X)=\int_\R xh(x)dx=\lambda E(Y^2)=\dfrac2\lambda\]


    1. $F$ est une fonction de répartition, et par conséquent $F$ est croissante sur $\R$. On a plus précisément $F'=f>0$ sur $[0;+\infty[$, donc $F$ est strictement croissante sur $[0:+\infty[$.
      Comme on sait de plus que $\lim_{x\to+\infty}{F(x)}=1$, on a nécessairement que, pour tout réel $x$,
      \[F(x)<1\iff 1-F(x)>0\]


    2. D'après ce qui précède, on a que $0<1-F(x)<1$ donc $\ln(1-F(x))<0$ et alors $g(x)\geqslant0$.
      Comme $f$ est continue par morceaux, il en va de même pour $g$, par produit et composition de fonctions continues par morceaux.
      Il nous reste enfin à calculer l'intégrale sur $\R$ de $g$.
      On a tout d'abord
      \[I=\int_\R g(x)dx=\int_0^{+\infty}-f(x)\ln(1-F(x))dx\]

      On peut alors intégrer par parties, en se rappelant que $F'=f$:
      \[I=\biggl[-F(x)\ln(1-F(x))\biggr]_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}F(x)\dfrac{f(x)}{1-F(x)}dx\]

      Le terme intégré est nul car $F(0)=0$ et, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to+\infty}F(x)\ln(1-F(x))=0$.
      On a donc
      \[\begin{array}{ll}I&=-\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{F(x)f(x)}{1-F(x)}dx\\
    &=\dsp\int_0^{+\infty}\lp\dfrac{1-F(x)}{1-F(x)}f(x)-\dfrac{f(x)}{1-F(x)}\right) dx\\
    &=\dsp\int_0^{+\infty}f(x)-\dfrac{F'(x)}{1-F(x)}dx+\\
    &=\biggl[F(x) + \ln(1-F(x))\biggr]_0^{+\infty}\\
    &=1
    \enar\]

      ce qui finit de démontrer que $g$ est bien une densité de probabilité.


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