Étude et matrice d'une application nilpotente


Soit $f$ un endomorphisme de $\R^3$ différent de l'endomorphisme nul, tel que $f^2=0$.
  1. Comparer les espaces $\text{Im}(f)$ et $\ker(f)$, puis établir leurs dimensions.
  2. Expliquer pourquoi il existe $x\in\R^3$ tel que $f(x)\not=0$.
  3. Montrer que la famille $\left( x,f(x)\rp$ est libre.
  4. En déduire une base telle que la matrice de $f$ dans cette base soit
    \[\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\]


Correction
  1. Par définition,
    \[f^2=0\iff\forall x\in\R^3,\ f^2(x)=f\left( f(x)\rp=0\]

    Ainsi, si $y\in\text{Im}(f)$, c'est-à-dire si il existe $x\in\R^3$ tel que $y=f(x)$, alors on a
    \[f(y)=f(f(x)=f^2(x)=0\]

    ce qui montre que $y\in\ker(f)$.
    On a ainsi montré que $\text{Im}(f)\subset\ker(f)$.

    On en déduit alors que
    \[\text{rg}(f)=\dim\lp\text{Im}(f)\rp\leqslant\dim\lp\ker(f)\rp\]

    On a aussi, par ailleurs, le théorème du rang qui relie ces dimensions:
    \[\text{rg}(f)+\dim\lp\ker(f)\rp=\dim\lp\R^3\rp=3\]


    Comme $f\not=0$, on a $\text{rg}(f)\geqslant1$. Mais on ne peut pas avoir $\text{rg}(f)\geqslant2$, car alors on aurait $2\leqslant\text{rg}(f)\leqslant\dim\lp\ker(f)\rp$ et donc
    \[\text{rg}(f)+\dim\lp\ker(f)\rp\geqslant4\]

    ce qui est impossible d'après le théorème du rang.
    On a donc nécessairement $\text{rg}(f)=1$, et alors, toujours par le théorème du rang, $\dim\lp\ker(f)\rp=2$.
  2. Dire que $f\not=0$ signifie exactement qu'il existe au moins un élément $x$ tel que $f(x)\not=0$.
    C'est la négation de la définition de l'application nulle:
    \[f=0\iff\Bigl(\forall x\in\R^3, f(x)=0\Bigr)\]


  3. Supposons $(x,f(x))$ liée, alors il existe deux réels non nuls $\alpha$ et $\beta$ tels que
    \[\alpha x+\beta f(x)=0
  \Longrightarrow x=-\dfrac\beta\alpha f(x)\]

    car $\alpha\not=0$, sinon on aurait $f(x)=0$ ce qui est contraire à la définiton de $x$. On a aurait donc $x\in\text{Im}(f)$, d'où $x\in\ker(f)$ d'après la première question, c'est-à-dire que $f(x)=0$, ce qui est absurde.

    La famille $(x,f(x))$, avec $f(x)\not=0$ est donc nécessairement libre.
  4. On a vu que $\dim\lp\ker(f)\rp=2$, et d'après ce qui précède, $f(x)\in\ker(f)$.
    On complète par un vecteur $u$ tel que $(u,f(x))$ soit une base de $\ker(f)$ (theorème de la base incomplète), et on considère enfin la base $\mathcal{B}\left( f(x),x,u)\rp$.
    Dans cette base, la matrice de $f$ est celle recherchée.


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