Étude et matrice d'une application nilpotente
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
Soit
un endomorphisme de
différent de l'endomorphisme nul,
tel que
.



- Comparer les espaces
et
, puis établir leurs dimensions.
- Expliquer pourquoi il existe
tel que
.
- Montrer que la famille
est libre.
- En déduire une base telle que la matrice de
dans cette base soit
Correction
Correction
- Par définition,
Ainsi, si, c'est-à-dire si il existe
tel que
, alors on a
ce qui montre que.
On a ainsi montré que.
On en déduit alors que
On a aussi, par ailleurs, le théorème du rang qui relie ces dimensions:
Comme, on a
. Mais on ne peut pas avoir
, car alors on aurait
et donc
ce qui est impossible d'après le théorème du rang.
On a donc nécessairement, et alors, toujours par le théorème du rang,
.
- Dire que
signifie exactement qu'il existe au moins un élément
tel que
.
C'est la négation de la définition de l'application nulle:
- Supposons
liée, alors il existe deux réels non nuls
et
tels que
car, sinon on aurait
ce qui est contraire à la définiton de
. On a aurait donc
, d'où
d'après la première question, c'est-à-dire que
, ce qui est absurde.
La famille, avec
est donc nécessairement libre.
- On a vu que
, et d'après ce qui précède,
.
On complète par un vecteurtel que
soit une base de
(theorème de la base incomplète), et on considère enfin la base
.
Dans cette base, la matrice deest celle recherchée.
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