Équation polynomiale de degré 3
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
On considère l'équation
![$(E):z^3-(3+i)z^2+(3+4i)z+(1-3i)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5/1.png)
- Vérifier que
est une racine de
.
- Résoudre alors
.
Correction
est bien une solution de
et on trouve alors la factorisation:
.
L'expression du 2nd degré a un discriminant
dont on extrait une racine carrée complexe
,
donc
.
On trouve ainsi
ou
et les deux racines
et
.
Correction
![$z=i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/1.png)
![$(E)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/2.png)
![$(E): (z-i)\left( z^2-3z+(3+i)\rp=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/3.png)
L'expression du 2nd degré a un discriminant
![$\Delta=-3-4i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/4.png)
![$\delta^2=(a+ib)^2=\Delta=-3-4i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/5.png)
![$\la\begin{array}{lcl} a^2-b^2&=&-3 \\ 2ab&=&-4 \\ a^2+b^2&=&5 \enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/6.png)
On trouve ainsi
![$\delta=1-2i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/7.png)
![$\delta=-1+2i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/8.png)
![$z_1=1+i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/9.png)
![$z_2=2-i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex5_c/10.png)
Tags:ComplexesPolynôme
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