Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre l'équation différentielle
![$(E): (1+x^2)y'+xy-x^3=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2/1.png)
Correction
L'équation homogène associée est![$(1+x^2)y'+xy=0 \iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac{x}{1+x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/2.png)
et donc,
et alors
.
On peut rechercher une solution particulière polynomiale:
, alors
et on doit donc avoir
,
,
.
Une solution particulière est donc
,
et la solution générale de
,
![\[y(x)=\dfrac{k}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac13x^2-\dfrac23\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/12.png)
pour toute constante réelle
.
Correction
![$(E): (1+x^2)y](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/1.png)
L'équation homogène associée est
![$(1+x^2)y'+xy=0 \iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac{x}{1+x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/2.png)
et donc,
![$\ln|y|=-\dfrac12\ln\lp1+x^2\rp=\ln\lp\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\rp+C$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/3.png)
et alors
![$y=\dfrac{k}{\sqrt{1+x^2}}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/4.png)
On peut rechercher une solution particulière polynomiale:
![$y(x)=ax^2+bx+c$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/5.png)
![$(1+x^2)y'+xy=(1+x^2)(2ax+b)+x(ax^2+bx+c)
=3ax^3+2bx^2+(2a+c)x+b$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/6.png)
et on doit donc avoir
![$a=\dfrac13$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/7.png)
![$b=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/8.png)
![$c=-\dfrac23$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/9.png)
Une solution particulière est donc
![$y=\dfrac13x^2-\dfrac23$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/10.png)
![$(E)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/11.png)
![\[y(x)=\dfrac{k}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac13x^2-\dfrac23\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/12.png)
pour toute constante réelle
![$k$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.2_c/13.png)
Tag:Équation différentielle
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)