Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre:
Déterminer la solution
de cette équation
qui s'annule en
.
![$y'+y=\dfrac{1}{1+e^x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1/1.png)
Déterminer la solution
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1/2.png)
![$\ln2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1/3.png)
Correction
et a pour solutions
les fonctions
,
.
Faisons varier la constante:
,
alors
et donc
,
d'où
.
Enfin, la solution générale de l'équation est
est solution de l'équation, donc
.
On sait de plus que
Ainsi,
.
Correction
L'équation homogène est![$y'+y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/1.png)
![$x\mapsto ke^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/2.png)
![$k\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/3.png)
Faisons varier la constante:
![$y(x)=k(x)e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/4.png)
![$y'(x)+y(x)=k'(x)e^{-x}=\dfrac{1}{1+e^x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/5.png)
![$k'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/6.png)
![$k(x)=\ln\lp1+e^x\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/7.png)
Enfin, la solution générale de l'équation est
![$y(x)=\ln\lp1+e^x\right) e^{-x}+ke^{-x}, \ k\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/8.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/9.png)
![$f(x)=\ln\lp1+e^x\right) e^{-x}+ke^{-x}, \ k\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/10.png)
On sait de plus que
![$f(\ln(2))=0\iff \dfrac12\ln3+\dfrac12k=0\iff k=-\ln3$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/11.png)
Ainsi,
![$f(x)=\ln\lp1+e^x\right) e^{-x}-e^{-x}\ln3=\ln\lp\dfrac{1+e^x}{3}\right) e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex1_c/12.png)
Tag:Équation différentielle
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)