Ensemble de matrices stable par produit


On pose $J=\lp\begin{array}{ccc}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\enar\rp$ et $\mathcal{E}=\Bigl\{ aI_3+bJ\ \text{ avec } (a,b)\in\R^2 \Bigr\}$.
  1. Déterminer $J^2$.
  2. Montrer que si $\left( M,N\rp\in\mathcal{E}^2$ alors $M\times N\in\mathcal{E}$.

Correction
  1. Le calcul matriciel donne $J^2=J$.
  2. $\left( M,N\rp\in\mathcal{E}^2$ signifie que $M=aI_3+bJ$ et que $N=a'I_3+b'J$.
    On a alors,
    \[\begin{array}{ll}M\times N&=\left( aI_3+bJ\rp\times\left( a'I_3+b'J\rp\\
  &=aa'I_3+ab'J+ba'J+bb'J^2\enar\]

    soit, avec la question précédente
    \[M\times N=aa'I_3+\left( ab'+a'b+bb'\right) J\]

    ce qui montre que le produit $M\times N$ appartient aussi à $\mathcal{E}$.


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Tag:Matrices

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