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Ensemble de matrices stable par produit

On pose $J=\lp\begin{array}{ccc}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\enar\rp$ et $\mathcal{E}=\Bigl\{ aI_3+bJ\ \text{ avec } (a,b)\in\R^2 \Bigr\}$ .

Déterminer .
Montrer que si $\left( M,N\rp\in\mathcal{E}^2$ alors $M\times N\in\mathcal{E}$ .

Correction

Le calcul matriciel donne .
$\left( M,N\rp\in\mathcal{E}^2$ signifie que et que .
On a alors,

$\begin{array}{ll}M\times N&=\left( aI_3+bJ\rp\times\left( a'I_3+b'J\rp\\ &=aa'I_3+ab'J+ba'J+bb'J^2\enar$

soit, avec la question précédente

$M\times N=aa'I_3+\left( ab'+a'b+bb'\right) J$

ce qui montre que le produit $M\times N$ appartient aussi à $\mathcal{E}$ .

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Tag:Matrices

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