Encadrement suite, intégrale et convergence série
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
On considère, pour
, la série de terme général
.
![$\alpha\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/ssi/1.png)
![$u_n=\dfrac{\sqrt1+\sqrt2+\dots+\sqrt{n}}{n^\alpha}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/ssi/2.png)
- Donner un encadrement de
et en déduire un encadrement de
.
- En déduire un équivalent pour
puis la nature de la série de terme général
suivant la valeur du paramètre
.
Correction
Correction
- Comme
est croissante sur
, on a
et alors, en sommant ces inégalités pourde 1 à
, et en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales, on obtient
L'inégalité de droite s'écrit aussi
et on donc l'encadrement
- On calcule alors les intégrales:
et de même pour l'autre intégrale.
On trouve alors que
et donc l'équivalent
On a donc
puis, par comparaison avec une série de Riemann, on en déduit que la série de terme généralconverge si et seulement si
Tags:SériesIntégrale
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