Encadrement accroissements finis et convergence d'une somme partielle
Montrer que pour tout ,
.
En déduire, pour tout entier différent de 0 et 1, la limite lorsque tend vers de .
En déduire, pour tout entier différent de 0 et 1, la limite lorsque tend vers de .
Correction
Le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction entre et donne l'exsitence d'un réel tel que
et donc, comme , on a l'encadrement ce qui est bien l'encadrement souhaité.
On a alors, pour tout ,
et donc, en sommant,
Les sommes qui encadrent sont télescopiques et se simplifient en
soit encore, comme et , on a donc
Maintenant, comme , d'après le théorème des gendarmes,
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Le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction entre et donne l'exsitence d'un réel tel que
et donc, comme , on a l'encadrement ce qui est bien l'encadrement souhaité.
On a alors, pour tout ,
et donc, en sommant,
Les sommes qui encadrent sont télescopiques et se simplifient en
soit encore, comme et , on a donc
Maintenant, comme , d'après le théorème des gendarmes,
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Tags:Rolle - AFSommes
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