Discrétisation d'une équation différentielle


On considère deux réels $a>0$ et $y_0\in\R$ fixés, ainsi qu'une fonction $f:\R\to\R$ qui vérifie les propriétés suivantes:
\[\la\begin{array}{l}
\forall t\in\R, f'(t)=-af(t)\\
f(0)=y_0
\enar\right.\]

  1. On pose $g:t\in\R\mapsto f(t)e^{at}$.
    1. Calculer la dérivée $g'$ de $g$.
    2. En déduire l'expression de $f$.

  2. On fixe un réel $\delta>0$ et on introduit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par
    \[u_0=y_0 \qquad\text{et}\qquad \forall n\geqslant0,\ u_{n+1}=u_n-a\delta u_n\]

    1. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $u_n\to0$ lorsque $n\to+\infty$.
    2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $u_n>0$ pour tout $n\in\N$.

  3. On suppose dorénavant que cette dernière condition est vérfiée et on considère la suite $(e_n)_{n\in\N}$ définie par $e_n=u_n-f(n\delta)$.
    1. Montrer que $e_{n+1}=(1-a\delta)e_n+a\dsp\int_{n\delta}^{(n+1)\delta}\left( f(u)-f(n\delta)\rp\,du$.
    2. En déduire que $\left|e_{n+1}\right|\leqslant(1-a\delta)\left|e_n\right|+\dfrac{ay_0\delta^2}2$.

Correction
Oral ENS ULM - 2021

    1. $g'(t)=(f'(t)+af(t))e^{at}=0$
    2. $g$ est donc constante, $g(t)=g(0)=f(t)e^{at}=y_0$ donc $f(t)=y_0e^{-at}$.
    1. On a $u_{n+1}=(1-a\delta)u_n$, et cette suite est donc une suite géométrique de raison $1-a\delta$. Donc $u_n\to 0$ si et seulement si $y_0=0$ ou $|1-a\delta|<1$.
    2. $u_n=y_0(1-a\delta)^n$. Donc $u_n>0$ pour tout $n$ si et seulement si $y_0>0$ et $1-a\delta>0$.
    1. D'une part,
      \[\begin{array}{ll}
  e_{n+1}&=u_{n+1}-f((n+1)\delta)\\[.4em]
  &=(1-a\delta)u_n-f((n+1)\delta)\\[.4em]
  &=(1-a\delta)e_n+(1-a\delta)f(n\delta)-f((n+1)\delta)\enar\]

      D'autre part, l'intégrale proposée dans l'énoncé se réécrit
      \[\begin{array}{ll}a\dsp\int_{n\delta}^{(n+1)\delta} (f(u)-f(n\delta))\,du
&=\dsp\int_{n\delta}^{(n+1)\delta} af(u)\,du-af(n\delta)\int_{n\delta}^{(n+1)\delta} du\\[1em]
&=\dsp\int_{n\delta}^{(n+1)\delta} -f'(u)\,du-a\delta f(n\delta)\\[1em]
&=-f((n+1)\delta)+f(n\delta)-a\delta f(n\delta)\\[.7em]
&=(1-a\delta)f(n\delta)-f((n+1)\delta)
\enar\]


      Donc on a bien finalement
      \[e_{n+1}=(1-a\delta)e_n+a\int_{n\delta}^{(n+1)\delta} (f(u)-f(n\delta))\,du\]

    2. D'après l'inégalité triangulaire, on a la majoration
      \[|e_{n+1}|\le (1-a\delta)|e_n|+a\int_{n\delta}^{(n+1)\delta} |f(u)-f(n\delta)|\,du\]

      Le théorème des accroisssements finis permet alors de majorer le terme à intégrer: il existe $\alpha\in]n\delta; (n+1)\delta[$ tel que
      \[|f(u)-f(n\delta)|=|f'(\alpha)(u-n\delta)|\]

      avec, comme $a>0$ et $y_0>0$,
      \[|f'(\alpha)|=|af(\alpha)|=ay_0e^{-a\alpha}\leqslant ay_0\]

      et on obtient donc, pour $u\in[n\delta; (n+1)\delta]$ on a
      \[|f(u)-f(n\delta)|\leqslant ay_0(u-n\delta)|\]

      d'où
      \[\begin{array}{ll}\dsp\int_{n\delta}^{(n+1)\delta}|f(u)-f(n\delta)|\,du
  &\leqslant ay_0\dsp\int_{n\delta}^{(n+1)\delta}(u-n\delta)\,du\\[1em]
  &=ay_0\lb\dfrac{(u-n\delta)^2}2\rb_{n\delta}^{(n+1)\delta}\\[1.2em]
  &=ay_0\dfrac{\delta^2}2\enar\]

      et on obtient ainsi l'inégalité demandée.


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