Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
La matrice
est-elle diagonalisable ?
Correction
L'objectif de l'exercice est de démontrer ce résultat dans .
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
de discriminant
Si , la matrice est déjà diagonale. Sinon, si , on a , et admet alors deux valeurs propres distinctes, et est diagonalisable.
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule , soit
et, pour (si , la matrice est déjà diagonale)
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque .
Le discriminant de ce trinôme est
Si , la matrice est déjà diagonale. Sinon, si , on a , et admet alors deux valeurs propres distinctes, et est diagonalisable.
Correction
Il s'agit d'un résultat (très) connu: toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (d'ailleurs dans une base orthonormale de vecteurs propres).L'objectif de l'exercice est de démontrer ce résultat dans .
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
de discriminant
Si , la matrice est déjà diagonale. Sinon, si , on a , et admet alors deux valeurs propres distinctes, et est diagonalisable.
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule , soit
et, pour (si , la matrice est déjà diagonale)
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque .
Le discriminant de ce trinôme est
Si , la matrice est déjà diagonale. Sinon, si , on a , et admet alors deux valeurs propres distinctes, et est diagonalisable.
Tags:DiagonalisationMatrices
Autres sujets au hasard: