Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
La matrice
est-elle diagonalisable ?
![$A=\lp\begin{array}{cc}a&b\\b&c\enar\rp\in\mathcal{M}_2(\R)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle/1.png)
Correction
L'objectif de l'exercice est de démontrer ce résultat dans
.
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
![\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)=\det(A-XI)&=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&c-X\enar\right|\\[1.6em]
&=(a-X)(c-X)-b^2\\[.6em]
&=X^2-(a+c)X+ac-b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/2.png)
de discriminant
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/3.png)
Si
, la matrice est déjà diagonale. Sinon, si
,
on a
,
et
admet alors deux valeurs propres distinctes,
et
est diagonalisable.
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule
, soit
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b\\b&c-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/10.png)
et, pour
(si
, la matrice est déjà diagonale)
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b^2-(c-\lambda)(a-\lambda)
\\b&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/14.png)
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
.
Le discriminant de ce trinôme est
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/16.png)
Si
, la matrice est déjà diagonale. Sinon, si
,
on a
,
et
admet alors deux valeurs propres distinctes,
et
est diagonalisable.
Correction
Il s'agit d'un résultat (très) connu: toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (d'ailleurs dans une base orthonormale de vecteurs propres).L'objectif de l'exercice est de démontrer ce résultat dans
![$\mathcal{M}_2(\R)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/1.png)
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
![\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)=\det(A-XI)&=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&c-X\enar\right|\\[1.6em]
&=(a-X)(c-X)-b^2\\[.6em]
&=X^2-(a+c)X+ac-b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/2.png)
de discriminant
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/3.png)
Si
![$b=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/4.png)
![$b\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/5.png)
![$\Delta>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/6.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/7.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/8.png)
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule
![$r=\text{rg}(A-\lambda I)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/9.png)
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b\\b&c-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/10.png)
et, pour
![$b\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/11.png)
![$b=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/12.png)
![$C_2\leftarrow bC_2-(c-\lambda)C_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/13.png)
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b^2-(c-\lambda)(a-\lambda)
\\b&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/14.png)
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
![$b^2-(c-\lambda)(a-\lambda)=0
\iff -\lambda^2+(a+c)\lambda-ac+b^2=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/15.png)
Le discriminant de ce trinôme est
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/16.png)
Si
![$b=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/17.png)
![$b\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/18.png)
![$\Delta>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/19.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/20.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/21.png)
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