Deux équations du second degré
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ComplexesNombres complexs
Énoncé du sujet
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les équations
et
![$\C$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1/1.png)
![$z^2-2\overline{z}-1=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1/2.png)
![$z^2-2\overline{z}+1=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1/3.png)
Correction
, avec
et
, alors
![\[\begin{array}{ll}
z^2-2\overline{z}-1=0
&\iff \Bigl(x^2-y^2-2x-1\Bigr) +i\Bigl(2xy-2y\Bigr)=0 \\[1em]
&\iff\la\begin{array}{l}x^2-y^2-2x-1=0 \\ 2xy-2y=0 \enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/4.png)
La 2ème équation se réécrit
et nous donne donc
l'alternative
ou
.
Si
, la 1ère équation devient
qui est du 2nd degré de discriminant
et donc de racines
et
.
Si
, la 1ère équation devient
qui n'a pas de solution dans
.
Il y a donc deux solutions, qui sont réelles:
et
.
De même, pour la 2ème équation, avec
,
![\[\begin{array}{ll}
z^2-2\overline{z}+1=0
&\iff \Bigl(x^2-y^2-2x+1\Bigr) +i\Bigl(2xy-2y\Bigr)=0 \\[1em]
&\iff\la\begin{array}{l}x^2-y^2-2x+1=0 \\ 2xy-2y=0 \enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/19.png)
La 2ème équation toujours
ou
.
Si
, la 1ère équation se réécrit
Si
, la 1ère équation se réécrit
.
Il y ainsi aussi une seule solution:
.
Correction
On pose![$z=x+iy$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/1.png)
![$x\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/2.png)
![$y\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/3.png)
![\[\begin{array}{ll}
z^2-2\overline{z}-1=0
&\iff \Bigl(x^2-y^2-2x-1\Bigr) +i\Bigl(2xy-2y\Bigr)=0 \\[1em]
&\iff\la\begin{array}{l}x^2-y^2-2x-1=0 \\ 2xy-2y=0 \enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/4.png)
La 2ème équation se réécrit
![$2y(x-1)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/5.png)
![$y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/6.png)
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/7.png)
Si
![$y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/8.png)
![$x^2-2x-1=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/9.png)
![$\Delta=8>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/10.png)
![$x_1=\dfrac{2-\sqrt8}{2}=1-\sqrt2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/11.png)
![$x_2=1+\sqrt2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/12.png)
Si
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/13.png)
![$-y^2-2=0\iff y^2+2=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/14.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/15.png)
Il y a donc deux solutions, qui sont réelles:
![$z_1=1-\sqrt2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/16.png)
![$z_2=1+\sqrt2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/17.png)
De même, pour la 2ème équation, avec
![$z=x+iy$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/18.png)
![\[\begin{array}{ll}
z^2-2\overline{z}+1=0
&\iff \Bigl(x^2-y^2-2x+1\Bigr) +i\Bigl(2xy-2y\Bigr)=0 \\[1em]
&\iff\la\begin{array}{l}x^2-y^2-2x+1=0 \\ 2xy-2y=0 \enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/19.png)
La 2ème équation toujours
![$y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/20.png)
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/21.png)
Si
![$y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/22.png)
![$x^2-2x+1=(x-1)^2=0\iff x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/23.png)
Si
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/24.png)
![$-y^2=0\iff y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/25.png)
Il y ainsi aussi une seule solution:
![$z_1=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/exEq1_c/26.png)
Tag:Complexes
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