Déterminer les polynômes tels que … (bis)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Déterminer les polyômes
de
tels que
.
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2/1.png)
![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2/2.png)
![$P'^2=4P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2/3.png)
Correction
une solution, alors
,
et donc
, soit
.
Alors
![\[\begin{array}{rll}
P'^2&=&(2aX+b)^2=4a^2X^2+4abX+b^2\\
4P&=&4aX^2+4bX+4c.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/5.png)
On a alors
, donc
ou
puis
. Les polynômes solutions sont donc le polynôme nul et les polynômes
, avec
.
Correction
Soit![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/1.png)
![$2(\deg(P)-1)=\deg(P)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/2.png)
![$\deg(P)=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/3.png)
![$P(X)=aX^2+bX+c$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/4.png)
Alors
![\[\begin{array}{rll}
P'^2&=&(2aX+b)^2=4a^2X^2+4abX+b^2\\
4P&=&4aX^2+4bX+4c.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/5.png)
On a alors
![$a^2=a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/6.png)
![$a=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/7.png)
![$a=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/8.png)
![$c=b^2/4$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/9.png)
![$P(X)=X^2+bX+b^2/4$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/10.png)
![$b\in\mathbb R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP2_c/11.png)
Tag:Polynôme
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