Décomposition en éléments simples (ter)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Décomposer en éléments simples
![$F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3/1.png)
Correction
,
il y a une partie entière de degré nul, donc une constante,
et alors
![\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
=a+\dfrac{b}{X+1}+\dfrac{c}{(X+1)^2}
+\dfrac{dX+e}{X^2+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/2.png)
En faisant tendre
vers
, on trouve
.
En multipliant par
puis en faisant
,
on trouve
.
De même, en mulitpliant par
puis en faisant
, on obtient
,
d'où
et
.
En choisissant par exemple
on peut trouver la
dernière inconnue:
.
En résumé, on a obtenu
![\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
=1-\dfrac{1}{X+1}+\dfrac{1}{(X+1)^2}
-\dfrac{X}{X^2+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/16.png)
La décomposition dans
se fait en factorisant
et alors
![\[\dfrac{X}{X^2+1}=\dfrac{X}{(X-i)(X+i)}
=\dfrac{f}{X-i}+\dfrac{g}{X+i}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/19.png)
avec, en multipliant par
puis en faisant
et de même en multipliant par
puis en faisant
,
.
Ainsi, dans
,
![\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
=1-\dfrac{1}{X+1}+\dfrac{1}{(X+1)^2}
-\dfrac{1/2}{X-i}-\dfrac{1/2}{X+i}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/26.png)
Correction
Comme![$\deg\left( X^4+1\rp=\deg\left( (X+1)^2(X^2+1)\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/1.png)
![\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
=a+\dfrac{b}{X+1}+\dfrac{c}{(X+1)^2}
+\dfrac{dX+e}{X^2+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/2.png)
En faisant tendre
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/3.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/4.png)
![$a=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/5.png)
En multipliant par
![$(X+1)^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/6.png)
![$X=-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/7.png)
![$c=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/8.png)
De même, en mulitpliant par
![$X^2+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/9.png)
![$X=i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/10.png)
![$di+e=\dfrac{2}{(i+1)^2}=\dfrac{2(1-i)^2}{4}=-i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/11.png)
![$d=-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/12.png)
![$e=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/13.png)
En choisissant par exemple
![$X=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/14.png)
![$F(0)=1=a+b+c+e=1+b+1\iff b=-1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/15.png)
En résumé, on a obtenu
![\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
=1-\dfrac{1}{X+1}+\dfrac{1}{(X+1)^2}
-\dfrac{X}{X^2+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/16.png)
La décomposition dans
![$\C[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/17.png)
![$X^2+1=(X-i)(X+i)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/18.png)
![\[\dfrac{X}{X^2+1}=\dfrac{X}{(X-i)(X+i)}
=\dfrac{f}{X-i}+\dfrac{g}{X+i}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/19.png)
avec, en multipliant par
![$X-i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/20.png)
![$X=i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/21.png)
![$X+i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/22.png)
![$X=-i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/23.png)
![$f=g=\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/24.png)
Ainsi, dans
![$\C[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/25.png)
![\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
=1-\dfrac{1}{X+1}+\dfrac{1}{(X+1)^2}
-\dfrac{1/2}{X-i}-\dfrac{1/2}{X+i}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples3_c/26.png)
Tag:Polynôme
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