Décomposition de Fourier d'une exponentielle périodique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Série de FourierSérie de Fourier
Énoncé du sujet
Soit
la fonction
-périodique telle que
pour
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex5/1.png)
![$2\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex5/2.png)
![$f(x)=e^x$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex5/3.png)
![$x\in[-\pi;\pi[$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex5/4.png)
- Représenter graphiquement
sur
.
- Déterminer la série de Fourier de
.
- En déduire la valeur de la somme
.
Correction
la fonction 2
-périodique définie par
sur
.
Correction
Soit![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex5_c/1.png)
![$\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex5_c/2.png)
![$f(x)=e^x$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex5_c/3.png)
![$[-\pi;\pi[$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex5_c/4.png)
-
- La fonction est 2
-périodique donc de pulsation
.
Sa valeur moyenne est
Pour tout entier, en intégrant par parties,
et on trouve ici l'expression des autres coefficients:
et donc, d'une part, et d'autre part, en intégrant par parties
,
Enfin, on y retrouve l'expression deet donc, avec
, on trouve
On a donc obtenu le système
d'où on tire
On en déduit que pour tout réel,
,
- En
, on a
duquel on tire que
Tag:Série de Fourier
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