Convergence de la série exponentielle (avec une récurrence)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SuitesSuites
- RécurrenceDémonstration par récuurrence
- SommesSommes des termes d'une suite
- LimiteLimites de suites et de fonctions
Énoncé du sujet
Soit la suite
définie par
.


- Montrer que
pour
.
En déduire queest majorée par 3.
- Montrer que
converge.
Correction
Correction
- On peut démontrer cette propriété par récurrence.
Pour,
et
, et la propriété est donc vraie initialement.
Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang, c'est-à-dire que
.
On a alors, au rang suivant,.
Or, pour,
, et donc,
.
La propriété est ainsi encore vraie au rang.
D'après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier.
On a alors,
- Enfin, comme
, donc que la suite
est (strictement) croissante, et majorée d'après la question précédente, on en déduit qu'elle est convergente vers un réle
.
Tags:SuitesRécurrenceSommesLimite
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