Convergence de deux suites dont le produit converge
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit
et
deux suites de réels de
telles que
.
Montrer que ces deux suites convergent vers 1.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15/1.png)
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15/2.png)
![$[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15/3.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_nv_n=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15/4.png)
Montrer que ces deux suites convergent vers 1.
Correction
,
, et de même,
.
On a alors aussi, pour le produit,
.
Comme
, on a, d'après le théorème des gendarmes,
.
En inversant les rôles de
et
,
on obtient le même résultat pour la convergence de
.
Correction
On a, pour tout entier![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/1.png)
![$0\leqslant u_n\leqslant 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/2.png)
![$0\leqslant v_n\leqslant 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/3.png)
On a alors aussi, pour le produit,
![$0\leqslant u_nv_n\leqslant u_n \leqslant 1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/4.png)
Comme
![$u_nv_n\to1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/5.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/6.png)
En inversant les rôles de
![$u_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/7.png)
![$v_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/8.png)
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex15_c/9.png)
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