Convergence d'une intégrale, IPP


Montrer que l'intégrale $I=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur.

Correction
La fonction $x\mapsto\dfrac{\ln(x)}{x^2}$ est continue sur $[1;+\infty[$ et l'intégrale existe sur tout segment $[1;A]$ pour tout réel $A>1$.
Il reste à étudier la convergence en $+\infty$. On a
\[\lim_{x\to+\infty}x^{3/2}\dfrac{\ln(x)}{x^2}
=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^{1/2}}
=0\]

par croissances comparées, ce qui montre que
\[\dfrac{\ln(x)}{x^2}=o\lp\dfrac1{x^{3/2}}\rp\]

et donc que l'intégrale est convergente en $+\infty$ d'après le critère de Riemann.

Pour calculer cette intégrale, on peut penser à une intégration par parties pour enlever le logarithme en le dérivant,
\[\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_1^{+\infty}\ln(x)\dfrac1{x^2}\,dx\\[1em]
&=\Bigl[\ln(x)\lp-\dfrac1x\rp\Bigr]_1^{+\infty}
-\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac1x\lp-\dfrac1x\rp\,dx\\[1.2em]
&=0+\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac1{x^2}\,dx
=\Bigl[-\dfrac1x\Bigr]_1^{+\infty}
=1
\enar\]



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