Choix aléatoire de pâtes dans un restaurant italien


Une personne se rend chaque semaine dans un restaurant italien pour déguster des pâtes, et choisit entre trois recettes classiques: Arrabiata (notée A), Bolognaise (notée B) et Carbonara (notée C). La première semaine, elle choisit les pâtes bolognaise. Après avoir dégusté des pâtes bolognaise, la semaine suivante la personne choisit les pâtes bolognaise avec probabilité 2/3 et les pâtes carbonara avec probabilité 1/3. Après avoir dégusté les pâtes carbonara, la semaine suivante la personne choisit les pâtes carbonara avec probabilité 1/3 et les pâtes à l'arrabiata avec probabilité 2/3. Enfin, après avoir dégusté les pâtes à l'arrabiata, la personne choisit ces mâme pâtes la semaine suivante. On note $M_n$ la variable aléatoire à valeurs dans $\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} A, B, C\ra$ qui donne le menu choisi la semaine $n$.
  1. Donner la valeur de $P(M_{n+1} = I | M_n = J)$ pour tous $I, J \in \left\{}\newcommand{\ra}{\right\} A, B, C\ra$.

    Dans la suite de l'exercice, on note $p_n^A = P(M_n = A)$, $p_n^B= P(M_n = B)$ et $p_n^C= P(M_n = C)$.
  2. Exprimer $p_{n+1}^A$, $p_{n+1}^B$ et $p_{n+1}^C$ en fonction de $p_n^A$, $p_n^B$ et $p_n^C$.
  3. Exprimer $p_n^B$ en fonction de $n$.
  4. Soit $X_n=\lp\begin{array}{c}p_n^A\\p_n^B\\p_n^c\enar\rp\in M_{3,1}(\R)$. Montrer que $X_{n+1}=\dfrac13QX_n$ avec $Q=\lp\begin{array}{ccc}3&0&2\\0&2&0\\0&1&1\enar\rp$.
  5. Calculer les valeurs propres de la matrice $Q$.
  6. Montrer que
    \[X_n=P\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\
  0&\lp\dfrac23\rp^{n-1}&0\\
  0&0&\lp\dfrac13\rp^{n-1}
  \enar\right) P^{-1}X_1\]

    pour une matrice $P$ que l'on précisera.
  7. Calculer la limite de $P(M_n = A)$ lorsque n tend vers l'infini.

Correction
Oral ENS ULM - 2019

  1. On peut représenter la situation par un arbre, et on obtient les valeurs suivantes:
    \[P( M_{n+1}=A | M_n=A ) = 1\]


    \[P( M_{n+1}=B | M_n=A ) = 0\]


    \[P( M_{n+1}=C | M_n=A ) = 0 \]


    \[P( M_{n+1}=A | M_n=B ) = 0 \]


    \[P( M_{n+1}=B | M_n=B ) = \dfrac23\]


    \[P( M_{n+1}=C | M_n=B ) = \dfrac13\]


    \[P( M_{n+1}=A | M_n=C ) = \dfrac23\]


    \[P( M_{n+1}=B | M_n=C ) = 0\]


    \[P( M_{n+1}=C | M_n=C ) = \dfrac13\]


  2. La formule des probabilités totales, appliquée au système complet d'événement $M_n\in\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} A, B, C\ra$ donne
    \[p_{n+1}^A =
  P( M_{n+1}=A | M_n=A ) p_n^A
  + P( M_{n+1}=A | M_n=B ) p_n^B
  +P( M_{n+1}=A | M_n=C ) p_n^C\]

    soit
    \[p_{n+1}^A =   p_n^A + \dfrac23 p_n^C \ \ \ (1)\]

    et de même
    \[p_{n+1}^B =
  P( M_{n+1}=B | M_n=A ) p_n^A
  +P( M_{n+1}=B | M_n=B ) p_n^B
  +P( M_{n+1}=B | M_n=C ) p_n^C\]

    soit
    \[p_{n+1}^B =   \dfrac23 p_n^B \ \ \ (2)\]

    et enfin
    \[p_{n+1}^C =
  P( M_{n+1}=C | M_n=A ) p_n^A
  +P( M_{n+1}=C | M_n=B ) p_n^B
  +P( M_{n+1}=C | M_n=C ) p_n^C\]

    soit
    \[p_{n+1}^C =   \dfrac{1}{3} p_n^B  + \dfrac{1}{3} p_n^C \ \ \ (3)\]


  3. On a obtenu en particulier que $(p_n^B)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac23$ et de premier terme $p_1^B=1$ car la première semaine, la personne choisit les pâtes bolognaises.
    On a ainsi
    \[\forall n \in \N^*, p_n^B=\lp\dfrac23\rp^{n-1}\]


  4. Les relations (1), (2) et (3) de la question (2) s 'écrivent matriciellement
    \[X_ {n+1}=\lp\begin{array}{ccc}
1& 0 & \dfrac{2}{3} \\[.8em]
0 &\dfrac{2}{3}  & 0\\[.8em]
0 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}
\enar\right) X_n\]

    soit
    \[X_ {n+1}=\dfrac{1}{3}QX_n\]


  5. Soit $\lambda \in \R$. Pour obtenir les valeurs propres de $Q$, on cherche les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles la matrice $Q-\lambda I_3$ n'est pas inversible.
    \[Q-\lambda I_3 =\begin{pmatrix}
3-\lambda & 0& 2 \\
0 & 2-\lambda & 0\\
0 & 1 & 1-\lambda\\
\end{pmatrix}\]


    puis, avec $L_2\to L_3$ et $L_3\to L_2$

    \[Q-\lambda I_3 \sim \begin{pmatrix}
3-\lambda & 0& 2 \\
0 & 1 & 1-\lambda\\
0 & 2-\lambda & 0 \\
\end{pmatrix}\]

    et enfin, avec $L_3-(2-\lambda) L_2\to L_2$
    \[Q-\lambda I_3 \sim \begin{pmatrix}
3-\lambda & 0& 2 \\
0 & 1 & 1-\lambda\\
0 & 0 & (2-\lambda)(\lambda-1) \\
\end{pmatrix}\]


    $Q-\lambda I_3$ n'est pas inversible lorsque son rang est strictement inférieur à 3, donc pour $\lambda=1$, $\lambda=2$ et $\lambda=3$, qui sont donc les 3 valeurs propres de $Q$.
  6. Soit $ E_1=\ker(Q-I_3)$ , $ E_2=\ker(Q-2I_3)$ et $E_3=\ker(Q-3I_3)$, les espaces propres associés respectivement aux valeurs propres 1, 2 et 3. On obtient par résolution de système $e_1=\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix} \in E_1$ , $e_2=\begin{pmatrix}
-2\\1\\1
\end{pmatrix} \in E_2 $ et $e_3=\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix} \in E_3$.
    Dans la base $(e_3,e_2,e_1)$, la matrice $Q$ s'écrit : $
D= \begin{pmatrix}
3 & 0& 0 \\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} $
    et la formule de changement de base donne $Q=PDP^{-1}$
    où P est la matrice des vecteurs propres. On obtient $P=\begin{pmatrix}
1& - 2& 1  \\
0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}$
    On montre facilement par récurrence que $\forall n \in \N,  
D^n= \begin{pmatrix}
3^n & 0& 0 \\
0 & 2^n & 0\\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} $ et que $Q^n=PD^nP^{-1}$.
    La relation de la question 3
    $$\forall n \in \N, X_ {n+1}=\dfrac{1}{3}QX_n $$

    entraîne (par une récurrence immédiate)
    \[\forall n \in \N^*, X_ n=\lp\dfrac13\rp^{n-1}Q^{n-1}X_1\]

    ce qui donne :
    \[\begin{array}{ll}\forall n \in \N^*, X_ n&=P\lp\dfrac13\rp^{n-1}D^{n-1}P^{-1}X_1\\[1.6em]
&=P\begin{pmatrix}
1 & 0& 0 \\
0 & \lp\dfrac23\rp^{n-1} & 0\\
0 & 0 & \lp\dfrac13\rp^{n-1} \\
\end{pmatrix}P^{-1}X_1 \enar\]


  7. Avec $P^{-1}= \begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
0 &1 &0 \\
0 &1& -1 \\
\end{pmatrix}$
    On obtient pour tout entier $n$ non nul,
    \[p_{n}^A = 1-2\times \dfrac{2^{n-1}}{3^{n-1}}+\dfrac{1}{3^{n-1}}\]

    et donc
    \[\lim_{n \to +\infty} P(M_n=A) = \lim_{n \to +\infty}  p_n(A) =1\]

    en d'autres termes, au bout d'un certain temps, la personne risque de ne plus manger que des pâtes à l'arrabiata.


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