Calcul de limite: composées de radicaux


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DLDéveloppements limités
  • LimiteLimites de suites et de fonctions

Énoncé du sujet

Déterminer $\dsp\lim_{n\to+\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}$.


Correction

Correction

On a
\[\begin{array}{ll}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}
&=\sqrt{x+\sqrt{x\lp1+\dfrac1{\sqrt{x}}\right)}}\\[1.4em]
&=\sqrt{x+\sqrt{x}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}}\\[1.4em]
&=\sqrt{x\lp1+\dfrac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}\right)}\\[1.4em]
&=\sqrt{x}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}}
\enar\]

soit, en posant $u=\dfrac1{\sqrt{x}}$, et en développant au permier ordre,
\[\begin{array}{ll}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\dfrac1u\sqrt{1+u\sqrt{1+u}}
&=\dfrac1u\sqrt{1+u\lp1+\dfrac12u+o(u)\right)}\\[1em]
&=\dfrac1u\sqrt{1+u+\dfrac12u^2+o\left( u^2\right)}\\[1em]
&=\dfrac1u\lp1+\dfrac12u+o(u)\rp\\[1em]
&=\dfrac1u+\dfrac12+o(1)
\enar\]

et on trouve alors la limite recherchée:
\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}
=\lim_{u\to0}\dfrac1u\sqrt{1+u\sqrt{1+u}}-\dfrac1u
=\dfrac12\]



Tags:DLLimite

Autres sujets au hasard: Lancer de dés


Voir aussi:
LongPage: h2: 3 - h3: 0