Calcul d'intégrales grâce à la loi normale


Rappeler la fonction densité d'une variable aléatoire de loi normale $\mathcal{N}(0;1)$.
En déduire $I=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx$. Calculer ensuite $J=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2+2x+1}\,dx$.

Correction
La fonction densité d'une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$ est $f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, qui vérifie en particulier
\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=
\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1\]


On a, en particulier
\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}\]

puis, avec le changement de variable $t=x/\sqrt2\iff x=\sqrt2 t$
\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx
=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,\sqrt2dt\]

et on trouve finalement
\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\dfrac1{\sqrt2}\sqrt{2\pi}=\sqrt{\pi}\]



On se ramène au cas précédent en utiisant la forme canonique
\[-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2\]

d'où
\[\begin{array}{ll}\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2+2x+1}\,dx
&=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2+2}\,dx\\[1.2em]
&=e^2\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx\enar\]

puis, avec le changement de variable $t=x-1$, et le résultat précédent,
\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx
=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi\]

et ainsi, finalement,
\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2+2}\,dx
=e^2\sqrt\pi\]



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Tag:Variables aléatoires continues

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