Calcul d'intégrale avec changement de variable

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Calculer $\dsp\int_{e^e}^{27}\dfrac{dx}{x\ln x\sqrt{\ln\lp\ln x\right)}}$ en posant $u=\ln\lp\ln x\rp$ .

Correction

Soit $I=\dsp\int_{e^e}^{27}\dfrac{dx}{x\ln x\sqrt{\ln\lp\ln x\right)}}$ et le changement de variable $u=\ln\lp\ln x\rp$ , alors $du=\dfrac{\frac1x}{\ln x}dx=\dfrac{dx}{x\ln x}$ et alors,

$\begin{array}{ll} I&=\dsp\int_1^{\ln\lp3\ln 3\right)} \dfrac{du}{\sqrt{u}} \\[1.3em] &=2\Bigl[\,\sqrt{u}\,\Bigr]_1^{\ln\lp3\ln 3\right)} \\[1.3em] &=2\lp\sqrt{\ln\lp3\ln 3\right)}-1\right)\enar$

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