Calcul d'intégrale avec changement de variable
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Calculer l'intégrale
en utilisant le changement de variable
.


Correction
et le changement de variable
,
et
,
et donc (en n'oubliant pas les bornes),
![\[\begin{array}{ll}
I&=\dsp\int_0^{\ln2}e^x\dfrac{e^x}{\sqrt{e^x+1}}dx\\[1.2em]
&=\dsp2\int_{\sqrt2}^{\sqrt3} \left( u^2-1\rp\,du\\[1.2em]
&=2\left[ \dfrac13u^3-u\rb_{\sqrt2}^{\sqrt3}\\[1.4em]
&=2\lb\lp\dfrac{\sqrt3^3}{3}-\sqrt3\rp-\lp\dfrac{\sqrt2^3}{3}-\sqrt2\rp\rb\\[1.4em]
&=\dfrac23\sqrt2
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exCchgt2_c/4.png)
Correction
Soit


![\[\begin{array}{ll}
I&=\dsp\int_0^{\ln2}e^x\dfrac{e^x}{\sqrt{e^x+1}}dx\\[1.2em]
&=\dsp2\int_{\sqrt2}^{\sqrt3} \left( u^2-1\rp\,du\\[1.2em]
&=2\left[ \dfrac13u^3-u\rb_{\sqrt2}^{\sqrt3}\\[1.4em]
&=2\lb\lp\dfrac{\sqrt3^3}{3}-\sqrt3\rp-\lp\dfrac{\sqrt2^3}{3}-\sqrt2\rp\rb\\[1.4em]
&=\dfrac23\sqrt2
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exCchgt2_c/4.png)
Tag:Intégrale
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